多目标优化分解方法：加权和与罚函数边界交叉

前言

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以下是对两种多目标优化分解方法的结构化数学解析，以更简洁的数学语言呈现核心逻辑：

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一、加权和（Weighted Sum, $g^{\text{ws}}$）

适用场景：凸 Pareto 前沿（$\text{PF}$ 为凸集）
核心思想：通过线性加权将多目标聚合为单目标

1. 数学形式

对 $M$ 目标优化问题 $\min \mathbf{f}(\mathbf{x})=[f_1(\mathbf{x}),\dots ,f_M(\mathbf{x})]$，定义：
$$g^{\text{ws}}(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^M{\lambda }_i{f}_i(\mathbf{x})$$
其中：

• ${\lambda }_i\ge 0$ 为权重，满足 ${\sum }_{i=1}^M{\lambda }_i=1$
• 优化目标：${\min }_{\mathbf{x}\in \Omega }{g}^{\text{ws}}(\mathbf{x})$

2. 几何本质

在目标空间中，$g^{\text{ws}}(\mathbf{x})=c$ 对应超平面，其法向量为 $\mathbf{\lambda }=[{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_M]$。

• 凸 $\text{PF}$ 下，超平面与 $\text{PF}$ 的切点即为 Pareto 最优解
• 非凸 $\text{PF}$ 下，超平面仅能切到凸包（遗漏非凸区域解）

3. 局限性

$$\text{仅适用于凸 }\text{PF}⟹\text{非凸场景下无法覆盖完整 Pareto 前沿}$$

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二、罚函数边界交叉（PBI）

适用场景：非凸 Pareto 前沿（$\text{PF}$ 为非凸集）
核心思想：通过“参考方向逼近 + 偏离惩罚”聚合多目标

1. 数学形式

给定参考点 ${\mathbf{z}}^{\ast }$（通常为理想点，满足 $z_i^{\ast }=\min f_i(\mathbf{x})$），定义：
$$g^{\text{PBI}}(\mathbf{x})=d_1+\theta \cdot d_2$$
其中：

• $d_1$：解 $\mathbf{x}$ 沿参考方向到 $\text{PF}$ 的距离（主优化方向）
• $d_2$：解 $\mathbf{x}$ 偏离参考方向的垂直距离（多样性惩罚）
• $\theta \ge 0$：罚参数（平衡 $d_1$ 与 $d_2$ 的权重）

2. 几何本质

• $d_1$ 保证解向 $\text{PF}$ 逼近（无论凸/非凸）
• $d_2$ 惩罚偏离参考方向的解，避免过度集中
• $\theta$ 控制多样性：$\theta \to 0$ 时退化为“仅逼近”，$\theta \to \infty$ 时过度惩罚多样性

3. 关键特性

$$\text{非凸 }\text{PF}\text{ 适配性}+\text{多样性可控性}⟹\text{需调参 }\theta$$

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三、对比总结

方法	数学形式	适用前沿	核心约束
加权和	$g^{\text{ws}}=\sum {\lambda }_i{f}_i$	凸 $\text{PF}$	非凸场景失效
PBI	$g^{\text{PBI}}=d_1+\theta d_2$	非凸 $\text{PF}$	需调罚参数 $\theta$

本质差异：

• 加权和依赖线性聚合，受限于凸性；
• PBI 依赖几何距离 + 惩罚，适配非凸性但需调参。

两种方法均通过单目标化将多目标问题分解，是 MOEA/D 等算法的基础组件。