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基础算法思想——分治

news 2025/7/30 16:29:25

周一buff+昨晚还有cf，今天感觉非常疲惫。等等，还没补题呢······ 原本以为这周的题会比较好写，但是几道题写下来并非如此。这篇博客就简单写一下关于分治思想。

分治，就可以简单理解为“分而治之”。题目大多需要进行递归，非常的灵活，需要仔细对程序进行设计。下面用几道例题来熟悉一下。

幂次方

来源：P1010 NOIP 1998 普及组] 幂次方 - 洛谷

思路

题目比较好懂，把一个非常大的数分为以1和2为最小单位，与2相乘当做连接的一个形式。虽然看着非常的混乱复杂，但是可以一点点剖析其背后的规律。首先根据137=2⁷+2³+2⁰可以得出：其实是根据二进制由大到小进行分解的。每分解出来一个数就要进行递归。剩下的数继续进行递归。在递归中有以下几个步骤：

当剩下的数为1时直接输出2(0)
当剩下的数为2时直接输出2
如果不是前两种，需要继续对当前的幂进行分解。先输出2( 进入当前数字的递归
里面的数再进入函数得到
输出）本块结束
将本块的数字减掉
本块数字处理完毕了，如果此时还有数用+号连接

代码

void dfs(int x)
{for(int i=20; i>=0; i--){if(pow(2,i)<=x){if(i==0) cout<<"2(0)";else if(i==1) cout<< "2";else{cout<<"2(";dfs(i);//继续分解此时的次方cout<<")";}x-=pow(2,i);//减去这一块的数字,后面继续分解if(x) cout<<"+";//如果这一块的数字没处理完用+号和后面连接}}
}
void solve()
{cin >> n;dfs(n);
}

外星密码

来源：P1928 外星密码 - 洛谷

思路

本题和幂次方类型非常相似，需要将操作的每一部分进行剖析。大概分为以下步骤：

如果是\n说明输入结束需要退出
如果是左括 [ 就开始处理：

1、输入数字t

2、进行递归获得内部的字符串

3、将字符串连t次到s1

如果是右括号 ] 次段结束，return s1
如果上面那些全都不是的话正常相连就行了

代码

string f()
{string s1="",s2;char ch;while(cin >> ch){if(ch=='\n') break;if(ch=='['){int t;cin >> t;s2=f();while(t--) s1+=s2;// return s1;}else if(ch==']') return s1;else s1+=ch;}return s1;
}
void solve()
{cout << f();return ;
}

南蛮图腾

来源：P1498 南蛮图腾 - 洛谷

本题是一个图形题，需要找规律进行模拟。

思路

很明显n每增加1就要把当前的图形分别向左下，右下复制一次。但是问题来了，向右下复制没问题，但是向左下直接就超界了。所以我们要对图形进行倒置处理，这样的话图形的左边和上边是不会动的，只会向右边和下面移动。首先把最基础的图形给存进去，然后每次分别向右方和右下复制一个。

代码

void solve()
{int n,w=4,cnt=1;cin >> n;memset(a,' ',sizeof(a));a[1][1]=a[2][2]='/';a[1][2]=a[1][3]='_';a[1][4]=a[2][3]='\\';while(cnt<n) //复制图腾 {for(int i=1;i<=w/2;i++)for(int j=1;j<=w;j++)a[i+(w/2)][j+(w/2)]=a[i][j+w]=a[i][j];	//转移式 // 右下					右边w*=2;cnt++;}for(int i=w/2; i>=1; i--)//倒置输出{for(int j=1; j<=w; j++)cout << a[i][j];cout << endl;}
}