当前位置：首页 > news >正文

动态规划解析：以最小花费爬楼梯为例

news 2025/7/26 16:38:27

动态规划的核心思想

动态规划（DP）通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解（避免重复计算），最终高效求解原问题。它适用于具有以下特征的问题：

重叠子问题：子问题被重复计算多次。
最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。

动态规划的解题步骤

定义状态：用数组 dp[i] 表示到达第 i 级台阶的最小花费。
确定状态转移方程：基于子问题关系推导递推式。
设置初始条件：初始化基础状态（如 dp[0], dp[1]）。
迭代计算：按顺序从小问题向大问题递推。

实例分析：LeetCode 746. 最小花费爬楼梯

问题描述
给定整数数组 cost，cost[i] 表示踏上第 i 级台阶的代价。每次可以爬 1 或 2 级台阶，求到达顶部（数组末尾之后）的最小花费。

关键思路

状态定义：dp[i] 表示到达第 i 级台阶的最小花费（注意：顶部是第 n 级，n = cost.length）。
状态转移：
到达第 i 级有两种方式：
1. 从第 i-1 级爬 1 步：花费 = dp[i-1] + cost[i-1]
2. 从第 i-2 级爬 2 步：花费 = dp[i-2] + cost[i-2]
  取两者最小值：
  dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])
初始条件：
- 起点为第 0 级或第 1 级（花费为 0）：
  dp[0] = 0, dp[1] = 0
目标：计算 dp[n]（n 是台阶总数）。

示例说明
若 cost = [10, 15, 20]：

dp[0] = 0, dp[1] = 0（初始站在第0或第1级）
dp[2] = min(0+10, 0+15) = 10（从第0级跨2步）
dp[3] = min(10+15, 0+20) = 20（从第1级跨2步）

最小花费为 dp[3] = 20。

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int n = cost.length;int[] dp = new int[n + 1];  // dp[i] 表示到达第 i 级的最小花费dp[0] = 0;  // 初始站在第0级，花费0dp[1] = 0;  // 初始站在第1级，花费0for (int i = 2; i <= n; i++) {// 从 i-1 级爬1步，或从 i-2 级爬2步dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[n];  // 到达顶部（第n级）的最小花费}
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，遍历一次数组。
空间复杂度：$O(n)$，使用长度为 $n+1$ 的 DP 数组。

优化空间复杂度

实际只需保留前两个状态，将空间优化至 $O(1)$：

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int a = 0, b = 0;  // a = dp[i-2], b = dp[i-1]for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {int c = Math.min(b + cost[i - 1], a + cost[i - 2]);a = b;  // 更新前两级状态b = c;  // 更新前一级状态}return b;}
}