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Schmidt 分解 ⚙️ 与 SVD 之间的本质联系

news 2025/7/26 10:08:09

Schmidt 分解（Schmidt Decomposition）是量子力学和线性代数中的一个重要工具，用于将一个双粒子（或多粒子）量子态表示为一系列正交基态的张量积之和。它类似于矩阵的奇异值分解（SVD），但应用于量子态（即向量）的分解。

1. 前提条件

Schmidt 分解适用于二分量子系统（即由两个子系统组成的复合系统）的纯态（pure state）。具体来说：

设 $|\psi\rangle$ 是一个复合系统的量子态，属于 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ ，要求 $\mathcal{H}_A$ 和 $\mathcal{H}_B$ 的维数可能不同，但 Schmidt 分解仍然适用（类似于 SVD 适用于长方矩阵 $m \neq n$ 的情况）。

2. Schmidt 分解的形式

给定一个二分量子态 $|\psi\rangle \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ ，其 Schmidt 分解为：

$|\psi\rangle = \sum_{i=1}^r \lambda_i |u_i\rangle_A \otimes |v_i\rangle_B$

其中：

$\lambda_i$ 称为 Schmidt 系数（Schmidt coefficients），且 $\lambda_i \geq 0$ ， $\sum_i \lambda_i^2 = 1$ （归一化条件）；

$\{ |u_i\rangle_A \}$ 是子系统 $A$ 的一组正交基。比如单量子比特的 $\{|0\rangle,\ |1\rangle\}$ ；

$\{ |v_i\rangle_B \}$ 是子系统 $B$ 的一组正交基。同样，比如单量子比特的 $\{|0\rangle,\ |1\rangle\}$ ；

$r$ 称为 Schmidt 秩（Schmidt rank），表示非零 $\lambda_i$ 的个数，且 $r \leq \min(\dim \mathcal{H}_A, \dim \mathcal{H}_B)$ 。

小注：

如果 $r = 1$ ，则 $|\psi\rangle$ 是可分离态（separable state）。

如果 $r > 1$ ，则 $|\psi\rangle$ 是纠缠态（entangled state）。【注，思考：B的部分相同呢】

3. 计算方法（基于 SVD）

Schmidt 分解可以通过奇异值分解（SVD）来计算：

将 $|\psi\rangle$ 表示为一个矩阵 $\Psi$ （类似于 SVD 中的矩阵），设 $\mathcal{H}_A$ 的基为 $\{ |i\rangle_A \}$ ， $\mathcal{H}_B$ 的基为 $\{ |j\rangle_B \}$ ，量子态可表示为：

$|\psi\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} |i\rangle_A \otimes |j\rangle_B$

其中 $c_{ij}$ 是系数矩阵 $\Psi$ 的元素。

对 $\Psi$ 进行 SVD：

$\Psi = U \Lambda V^\dagger$

$U$ 是左奇异向量矩阵（对应 $\mathcal{H}_A$ 的基）。

$V$ 是右奇异向量矩阵（对应 $\mathcal{H}_B$ 的基）。

$\Lambda$ 是对角矩阵，其对角线元素是奇异值 $\lambda_i$ 。

将 SVD 转换为 Schmidt 分解：

$|\psi\rangle = \sum_{i=1}^r \lambda_i |u_i\rangle_A \otimes |v_i\rangle_B$

其中：

$|u_i\rangle_A$ 是 $U$ 的第 i 列；

$|v_i\rangle_B$ 是 $V$ 的第 i 列；

$\lambda_i$ 是 $\Lambda$ 的第 i 个奇异值。

4. 例子

例 1：Bell 态的 Schmidt 分解

考虑 Bell 态（最大纠缠态）：

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |00\rangle + |11\rangle \right)$
系数矩阵：

$\Psi = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

显然， $\Psi$ 已经是对角矩阵，其 SVD 为：

$\Psi = I \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \cdot I$

因此，Schmidt 分解为：

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + \frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B$

Schmidt 秩 r = 2，说明这是一个最大纠缠态。

例 2：可分离态的 Schmidt 分解

考虑可分离态：

$|\psi\rangle = |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B$

系数矩阵：

$\Psi = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

SVD 分解：

$\Psi = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Schmidt 分解为：

$|\psi\rangle = 1 \cdot |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B$

Schmidt 秩 $r = 1$ ，说明这是一个可分离态（无纠缠）。

5. 具体应用

量子纠缠分析，Schmidt 秩 $r$ 衡量纠缠程度：

r = 1：可分离态。

r > 1：纠缠态。

$r = \min(\dim \mathcal{H}_A, \dim \mathcal{H}_B)$ ：最大纠缠态（如 Bell 态）。

这可以应用于量子信息处理，用于量子隐形传态（quantum teleportation）、量子密钥分发（QKD）等协议。也可以应用于降维计算，类似于 SVD 的低秩近似，可用于量子态的压缩表示。

6. Schmidt 分解与 SVD 的关系

Schmidt 分解（Schmidt Decomposition）和奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在数学结构上高度相似，甚至可以认为 Schmidt 分解是 SVD 在量子态（张量空间）上的直接应用。它们的本质关系可以从以下几个方面理解：

6.1. 数学形式上的对应关系

(1) SVD 分解（矩阵形式）

给定一个矩阵 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ ，其 SVD 分解为：

$A = U \Sigma V^\dagger$
其中：

$U \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 是左奇异向量矩阵（列向量正交）。

$V \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是右奇异向量矩阵（列向量正交）。

$\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 是对角矩阵，对角线元素 $\sigma_i$ 称为奇异值（ $\sigma_i \geq 0$ ）。

(2) Schmidt 分解（量子态形式）

给定一个二分量子态 $|\psi\rangle \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ ，其 Schmidt 分解为：

$|\psi\rangle = \sum_{i=1}^r \lambda_i |u_i\rangle_A \otimes |v_i\rangle_B$
其中：

$\{ |u_i\rangle_A \}$ 是子系统 $A$ 的正交基（对应 $U$ 的列）。

$\{ |v_i\rangle_B \}$ 是子系统 BB 的正交基（对应 VV 的列）。

$\lambda_i$ 是Schmidt 系数（对应 $\Sigma$ 的奇异值 $\sigma_i$ ）。

r 是Schmidt 秩（对应 $\Sigma$ 的非零奇异值个数）。

Schmidt 分解本质上是 SVD 在量子态上的应用：

概念	SVD（矩阵）	Schmidt 分解（量子态）
分解对象	矩阵 A	量子态 ( $\|\psi\rangle$ ）
分解形式	$A = U \Sigma V^\dagger$	$\psi\rangle = \sum_i \lambda_i \|u_i\rangle \otimes \|v_i\rangle$
奇异值	$\sigma_i$	$\lambda_i$ （Schmidt 系数）
左右基	$U$ 和 $V$	$\{ \| u_i\rangle \}$ 和 $\{ \|v_i\rangle \}$
低秩近似	截断 SVD	截断 Schmidt 分解（用于降维）

关键对应关系：

概念	SVD（矩阵）	Schmidt 分解（量子态）
	矩阵 A	量子态 ( $\|\psi\rangle$ )
	左奇异向量 U	子系统 A 的基 ( ${ \|u_i\rangle_A }$ )
	右奇异向量 V	子系统 B 的基 ( $\{ \| v_i\rangle_B \}$ )
	奇异值 $\sigma_i$	Schmidt 系数 $\lambda_i$
	奇异值个数 r	Schmidt 秩 r

6.2. 计算过程的等价性

(1) SVD 的计算

对矩阵 $A$ 进行 SVD：

计算 $A^\dagger A$ 和 $A A^\dagger$ 的特征分解，

$A^\dagger A$ 的特征向量组成 $V$

$A A^\dagger$ 的特征向量组成 $U$

奇异值 $\sigma_i = \sqrt{\text{eig}(A^\dagger A)}$

(2) Schmidt 分解的计算

对量子态 $|\psi\rangle$ 进行 Schmidt 分解：

将 $|\psi\rangle$ 表示为系数矩阵 $\Psi$ （类似 $A$ ）。

计算 $\Psi^\dagger \Psi$ 和 $\Psi \Psi^\dagger$ 的约化密度矩阵：

$\rho_A = \text{Tr}_B(|\psi\rangle \langle \psi|)$ （类似 $\Psi \Psi^\dagger$ ）。

$\rho_B = \text{Tr}_A(|\psi\rangle \langle \psi|)$ （类似 $\Psi^\dagger \Psi$ ）。

对 $\rho_A$ 和 $\rho_B$ 进行谱分解，得到 $\{ |u_i\rangle_A \}$ 、 $\{ |v_i\rangle_B \}$ 和 $\lambda_i^2$ （即奇异值的平方）。

结论：

Schmidt 分解本质上就是对量子态的系数矩阵 $\Psi$ 进行 SVD。

计算过程完全一致，只是物理意义不同：

SVD 用于矩阵的低秩近似。

Schmidt 分解用于量子态的纠缠分析。

6.3. 物理意义的关联

(1) SVD 的物理意义

描述矩阵的主要成分（奇异值越大，对应的成分越重要）。

用于数据降维（PCA）、图像压缩等。

(2) Schmidt 分解的物理意义

描述量子态的纠缠结构：

Schmidt 秩 r：衡量纠缠程度：

r = 1：可分离态（无纠缠）。

r > 1：纠缠态（rr 越大，纠缠越强）。

Schmidt 系数 $\lambda_i$ ：描述子系统 $A$ 和 $B$ 的关联强度。

关键联系：

SVD 的低秩近似对应 Schmidt 分解的纠缠截断：

在 SVD 中，可以只保留前 k 个奇异值进行降维。

在 Schmidt 分解中，可以只保留前 k 个 Schmidt 系数，近似表示量子态（用于量子计算中的降维）。

6.4. 数学本质的总结

Schmidt 分解是 SVD 在张量空间（量子态）上的推广：

SVD 适用于矩阵 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 。

Schmidt 分解适用于量子态 $|\psi\rangle \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ （可以看作高阶张量）。

两者都是基于正交展开：

SVD：矩阵 $A$ 被分解为正交基 $U$ 和 $V$ 的线性组合。

Schmidt 分解：量子态 $|\psi\rangle$ 被分解为正交基 $\{ |u_i\rangle_A \}$ 和 $\{ |v_i\rangle_B \}$ 的张量积。

核心数学工具相同：

都依赖于特征分解/谱分解。

都用于提取主要成分（奇异值/Schmidt 系数）。

6.5. 示例对比

例 1：矩阵的 SVD

设矩阵：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
其 SVD 为：

$A = I \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot I$
奇异值 $\sigma_1 = \sigma_2 = 1$ 。

左/右奇异向量均为标准基。

例 2：量子态的 Schmidt 分解

设 Bell 态：

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle)$
其 Schmidt 分解为：

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + \frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B$

Schmidt 系数 $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 。