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【高等数学】第五章定积分——第四节反常积分

news 2025/8/2 21:10:48

上一节：【高等数学】第五章定积分——第三节定积分的换元法和分部积分法
总目录：【高等数学】目录

文章目录

1. 无穷限的反常积分
2. 无界函数的反常积分

1. 无穷限的反常积分

定义
设函数 $f (x)$ 在区间 $+\infty)$ 上连续
任取 $t > a$ ，作定积分 $∫atf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d}x$ ，极限
$lim⁡t→+∞∫atf(x)dx\lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d}x$
称为函数 $f (x)$ 在无穷区间 $+\infty)$ 上的反常积分，记为 $∫a+∞f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ ，即
$∫a+∞f(x)dx=lim⁡t→+∞∫atf(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d}x$
敛散性
设函数 $f (x)$ 在区间 $+\infty)$ 上连续如果反常积分对应的极限存在
那么称反常积分 $∫a+∞f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值
如果反常积分对应的极限不存在
那么称反常积分 $∫a+∞f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 发散
根据微积分基本定理，反常积分的敛散性取决于原函数在无穷限的极限敛散情况
类似地可以定义 $∫−∞bf(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ 、 $∫−∞+∞f(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ ，这些反常积分统称为无穷限的反常积分
反常积分 $∫a+∞dxxp\displaystyle\int_{a}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ ( $a\le 0$ 有瑕点)，当 $p > 1$ 时收敛，当 $\leq 1$ 时发散.

当 $p = 1$ 时， $∫a+∞dxx=[ln⁡∣x∣]a+∞=+∞\displaystyle\int_{a}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x}=\left[\ln |x|\right]_a^{+\infty}=+\infty$
当 $p≠1p\ne1$ 时， $∫a+∞dxxp=[x1−p1−p]a+∞={+∞,p<1a1−pp−1,p>1\displaystyle\int_{a}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_a^{+\infty}=\begin{cases}+\infty,&p<1\\\dfrac{a^{1-p}}{p-1},&p>1\end{cases}$

2. 无界函数的反常积分

瑕点与瑕积分
如果函数 $f (x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界
那么点 $a$ 称为函数 $f (x)$ 的瑕点（也称为无界间断点）
无界函数的反常积分又称为瑕积分
定义
设函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为 $f (x)$ 的瑕点.
任取 $t > a$ ，作定积分 $∫tbf(x)dx\displaystyle\int_{t}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ ，极限
$lim⁡t→a+∫tbf(x)dx\lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) \mathrm{d}x$
称为函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b]$ 上的反常积分，仍然记为 $∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ ，即
$∫abf(x)dx=lim⁡t→a+∫tbf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) \mathrm{d}x$
敛散性
设函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为 $f (x)$ 的瑕点
如果反常积分对应的极限存在
那么称反常积分 $∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值
如果反常积分对应的极限不存在
那么称反常积分 $∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ 发散
根据微积分基本定理，反常积分的敛散性取决于原函数在瑕点的极限敛散情况
类似地可以定义 $∫abf(x)dx,x∈[a,b)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x,\quad x\in[a,b)$ 、 $∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,x∈[a,c)∪(c,b]\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d}x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d}x,\quad x\in[a,c)\cup(c,b]$
反常积分 $∫abdx(x−a)q\displaystyle\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{(x - a)^q}$ ，当 $0 < q < 1$ 时收敛，当 $\geq 1$ 时发散

当 $q = 1$ 时， $∫abdxx−a=[ln⁡∣x−a∣]ab=+∞\displaystyle\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{x - a}=\left[\ln|x-a|\right]_{a}^b=+\infty$
当 $q≠1q\ne1$ 时， $∫abdx(x−a)q=[(x−a)1−q1−q]ab={(b−a)1−q1−q,q<1+∞,q>1\displaystyle\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{(x - a)^q}=\left[\dfrac{(x-a)^{1-q}}{1-q}\right]_{a}^b=\begin{cases}\dfrac{(b-a)^{1-q}}{1-q},&q<1\\+\infty,&q>1\end{cases}$