蚁群优化算法（ACO）求解旅行商问题（TSP）

前言

提醒：
文章内容为方便作者自己后日复习与查阅而进行的书写与发布，其中引用内容都会使用链接表明出处（如有侵权问题，请及时联系）。
其中内容多为一次书写，缺少检查与订正，如有问题或其他拓展及意见建议，欢迎评论区讨论交流。

内容由AI辅助生成，仅经笔者审核整理，请甄别食用。

---

matlab代码

function [bestPath, bestDistance, convergence] = antColonyTSP_Animated()%% 参数设置% 蚁群优化算法（ACO），用于求解旅行商问题（TSP）% 即寻找一条访问所有城市并返回起点的最短闭合路径cityNum = 100;           % 城市数量antNum = 50;            % 蚂蚁数量maxIter = 200;          % 最大迭代次数alpha = 1;              % 信息素重要程度因子beta = 5;               % 启发函数重要程度因子rho = 0.1;              % 信息素挥发因子Q = 100;                % 信息素增强系数pauseTime = 0;       % 动画播放速度（单位：秒）%% 初始化城市坐标（随机生成）cities = rand(cityNum, 2) * 100;% 计算距离矩阵distMatrix = inf(cityNum);for i = 1:cityNumfor j = i+1:cityNumd = norm(cities(i,:) - cities(j,:));distMatrix(i,j) = d;distMatrix(j,i) = d;endend% 初始化信息素矩阵pheromone = ones(cityNum);%代码中 pheromone = ones(cityNum); % 实际创建的是 cityNum×cityNum 的二维矩阵，% 用于存储每对城市之间的信息素浓度。% 启发信息eta = 1 ./ distMatrix;eta(distMatrix == inf) = 0;% 初始化记录bestDistance = inf;bestPath = [];convergence = zeros(maxIter, 1);%% 初始化图像窗口figure('Name', '蚁群算法动态路径演化', 'Position', [100, 100, 1200, 500]);subplot(1, 2, 1);pathPlot = plot(0,0,'b-','LineWidth',2); hold on;cityPlot = plot(cities(:,1), cities(:,2), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'r');title('TSP路径演化');xlabel('X坐标'); ylabel('Y坐标');textHandles = gobjects(cityNum,1);for i = 1:cityNumtextHandles(i) = text(cities(i,1)+1, cities(i,2)+1, num2str(i), 'FontSize', 9);enditerTitle = title('');grid on;subplot(1, 2, 2);convPlot = plot(0,0,'b-','LineWidth',2);title('收敛曲线'); xlabel('迭代次数'); ylabel('最优距离'); grid on;%% 主循环for iter = 1:maxIterantPaths = zeros(antNum, cityNum);antDistances = zeros(antNum, 1);for ant = 1:antNumcurrentCity = randi(cityNum);path = currentCity;unvisited = setdiff(1:cityNum, currentCity);while ~isempty(unvisited)prob = zeros(length(unvisited),1);for i = 1:length(unvisited)nc = unvisited(i);prob(i) = pheromone(currentCity,nc)^alpha * eta(currentCity,nc)^beta;endprob = prob / sum(prob);nextCity = unvisited(find(rand() <= cumsum(prob),1));path(end+1) = nextCity;currentCity = nextCity;unvisited(unvisited==nextCity) = [];end% 路径长度dist = sum(arrayfun(@(i) distMatrix(path(i),path(i+1)), 1:cityNum-1)) ...+ distMatrix(path(end), path(1));antPaths(ant,:) = path;antDistances(ant) = dist;end% 更新最优路径[iterBestDist, bestAnt] = min(antDistances);if iterBestDist < bestDistancebestDistance = iterBestDist;bestPath = antPaths(bestAnt,:);endconvergence(iter) = bestDistance;% 信息素挥发pheromone = (1 - rho) * pheromone;% 信息素更新for ant = 1:antNump = antPaths(ant,:);delta = Q / antDistances(ant);for i = 1:cityNum-1pheromone(p(i),p(i+1)) = pheromone(p(i),p(i+1)) + delta;pheromone(p(i+1),p(i)) = pheromone(p(i+1),p(i)) + delta;endpheromone(p(end),p(1)) = pheromone(p(end),p(1)) + delta;pheromone(p(1),p(end)) = pheromone(p(1),p(end)) + delta;end% 动态更新图像subplot(1,2,1);bpX = [cities(bestPath,1); cities(bestPath(1),1)];bpY = [cities(bestPath,2); cities(bestPath(1),2)];set(pathPlot, 'XData', bpX, 'YData', bpY);set(iterTitle, 'String', sprintf('迭代 %d / %d：当前最优距离 = %.2f', iter, maxIter, bestDistance));subplot(1,2,2);set(convPlot, 'XData', 1:iter, 'YData', convergence(1:iter));drawnow;pause(pauseTime); % 控制动画速度end%% 输出结果fprintf('\n=== 蚁群算法TSP求解结果 ===\n');fprintf('城市数量: %d\n', cityNum);fprintf('最优路径长度: %.2f\n', bestDistance);fprintf('最优路径: ');fprintf('%d -> ', bestPath);fprintf('%d\n', bestPath(1));
end% 调用函数
[bestPath, bestDistance, convergence] = antColonyTSP_Animated();

运行结果

这段MATLAB代码实现了一个带动态可视化的蚁群优化算法（ACO），用于求解旅行商问题（TSP）——即寻找一条访问所有城市并返回起点的最短闭合路径。

代码分析

一、算法核心原理与数学基础

蚁群算法解决TSP的核心是模拟蚂蚁通过信息素（pheromone） 传递路径信息的机制，其数学框架包括：

1. 转移概率：蚂蚁根据信息素浓度和路径距离选择下一个城市；
2. 信息素更新：路径越短，信息素积累越多，同时信息素会随时间挥发；
3. 正反馈机制：优质路径（短路径）的信息素浓度更高，吸引更多蚂蚁选择，形成“越短路径→信息素越浓→更多蚂蚁选择”的循环。

二、代码模块解析

1. 参数设置（对应算法核心参数）

cityNum = 100;           % 城市数量（TSP问题规模）
antNum = 50;             % 蚂蚁数量（群体规模，影响搜索多样性）
maxIter = 200;           % 最大迭代次数（算法终止条件）
alpha = 1;               % 信息素重要程度因子（τ的权重）
beta = 5;                % 启发函数重要程度因子（η的权重）
rho = 0.1;               % 信息素挥发因子（控制挥发速度）
Q = 100;                 % 信息素增强系数（控制沉积量）

• 参数作用：
  • alpha和beta平衡“信息素引导”与“距离启发”（距离越短，启发信息越强）；
  • rho防止信息素无限积累，避免算法早熟；
  • Q控制信息素沉积的总量，路径越短，单位长度沉积的信息素越多。

2. 初始化（问题建模与变量初始化）

（1）城市坐标与距离矩阵

% 生成随机城市坐标（范围[0,100]）
cities = rand(cityNum, 2) * 100;% 计算距离矩阵（城市i到j的欧氏距离）
distMatrix = inf(cityNum);
for i = 1:cityNumfor j = i+1:cityNumd = norm(cities(i,:) - cities(j,:));  % 欧氏距离公式distMatrix(i,j) = d;distMatrix(j,i) = d;  % 距离矩阵对称（TSP路径双向距离相同）end
end

• 数学公式：城市$i(x_i,y_i)$与城市$j(x_j,y_j)$的欧氏距离：
  $$d_{ij}=\sqrt{(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2}$$
  代码中通过norm函数实现该计算，距离矩阵distMatrix存储所有城市间的距离。

（2）信息素与启发信息初始化

% 信息素矩阵（τ_ij：城市i到j的信息素浓度）
pheromone = ones(cityNum);  % 初始信息素浓度相同（均为1）% 启发信息（η_ij：距离的倒数，距离越近，启发信息越强）
eta = 1 ./ distMatrix;
eta(distMatrix == inf) = 0;  % 避免除零（自身到自身的距离为inf）

• 启发信息公式：启发信息与距离成反比（距离越近，蚂蚁越倾向选择）：
  $${\eta }_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}$$
  初始信息素矩阵pheromone设为全1，确保所有路径初始时公平竞争。

3. 主循环：蚂蚁构建路径与信息素更新

这是算法的核心，对应蚁群算法“解的构建→信息素更新”的迭代过程。

（1）蚂蚁构建路径（基于转移概率）

for ant = 1:antNum  % 每个蚂蚁独立构建路径currentCity = randi(cityNum);  % 随机选择起点城市path = currentCity;  % 记录路径unvisited = setdiff(1:cityNum, currentCity);  % 未访问城市集合while ~isempty(unvisited)  % 直到访问所有城市% 计算转移概率：选择下一个城市的概率prob = zeros(length(unvisited),1);for i = 1:length(unvisited)nc = unvisited(i);  % 候选城市% 转移概率公式：τ_ij^α · η_ij^β 的归一化prob(i) = pheromone(currentCity,nc)^alpha * eta(currentCity,nc)^beta;endprob = prob / sum(prob);  % 归一化概率（总和为1）% 轮盘赌选择：按概率选择下一个城市nextCity = unvisited(find(rand() <= cumsum(prob),1));% 更新路径与未访问城市path(end+1) = nextCity;currentCity = nextCity;unvisited(unvisited==nextCity) = [];end% 计算路径长度（TSP目标函数：闭合路径总距离）dist = sum(arrayfun(@(i) distMatrix(path(i),path(i+1)), 1:cityNum-1)) ...+ distMatrix(path(end), path(1));  % 最后返回起点antPaths(ant,:) = path;  % 记录第ant只蚂蚁的路径antDistances(ant) = dist;  % 记录路径长度
end

setdiff(A, B)：这是MATLAB中的一个内置函数，用于计算集合A中存在但集合B中不存在的元素，即返回A与B的差集。

• 核心公式：转移概率
  蚂蚁$k$从当前城市$i$选择未访问城市$j$的概率为：
  $$P_{ij}^k=\frac{{\tau }_{ij}^{\alpha }\cdot {\eta }_{ij}^{\beta }}{{\sum }_{l\in {\text{allowed}}_k}{\tau }_{il}^{\alpha }\cdot {\eta }_{il}^{\beta }}$$
  其中：
  -${\tau }_{ij}$：城市$i$到$j$的信息素浓度；
  -${\text{allowed}}_k$：蚂蚁$k$未访问的城市集合；
  -$\alpha ,\beta$：平衡信息素（历史经验）与启发信息（局部距离）的权重。

  代码中通过prob(i) = pheromone(...)^alpha * eta(...)^beta计算分子，再归一化得到概率，最后用轮盘赌（cumsum(prob)）实现随机选择。

---

轮盘赌选择机制的核心思想是：根据概率分布随机选择下一个城市，而不是直接选择概率最大的城市。这样可以增加算法的随机性和探索性，避免陷入局部最优解。

具体来说，假设我们有以下概率分布：

$$P=[P_1,P_2,P_3,\dots ,P_n]$$

其中$P_i$表示选择第$i$个城市的概率。为了实现随机选择，我们通常会将这些概率值累加起来，形成一个累积概率分布：

$$\text{cumsum}(P)=[P_1,P_1+P_2,P_1+P_2+P_3,\dots ,\sum _{i=1}^n{P}_i]$$

然后，生成一个随机数$r\in [0,1]$，并找到第一个满足$r\le \text{cumsum}(P_i)$的索引$i$。这个索引$i$就是我们选择的城市。

这样做的意义：

1. 平衡利用和探索：

• 如果直接选择概率最大的城市，算法会很快收敛到局部最优解，缺乏探索性。
• 轮盘赌选择机制允许蚂蚁以一定概率选择非最优路径，增加了算法的随机性和全局搜索能力。

2. 概率分布的随机性：

• 轮盘赌选择机制确保了每个城市都有被选择的机会，即使它的概率不是最大。
• 这种随机性有助于避免算法陷入局部最优解，提高全局优化能力。

3. 小结：

• 直接选择最大概率的城市：会导致算法过早收敛，缺乏探索性。
• 轮盘赌选择机制：通过随机选择，平衡了利用和探索，增加了算法的全局搜索能力。

（2）更新最优路径

% 找到当前迭代的最优路径（最短距离）
[iterBestDist, bestAnt] = min(antDistances);
if iterBestDist < bestDistance  % 更新全局最优bestDistance = iterBestDist;bestPath = antPaths(bestAnt,:);
end
convergence(iter) = bestDistance;  % 记录收敛过程

每次迭代后，比较所有蚂蚁的路径长度，保留全局最优路径，convergence数组记录每代最优距离，用于后续绘制收敛曲线。

（3）信息素更新（挥发+沉积）

信息素更新分两步：挥发（所有路径信息素减少）和沉积（优质路径信息素增加）。

% 1. 信息素挥发：所有路径的信息素按比例减少
pheromone = (1 - rho) * pheromone;% 2. 信息素沉积：蚂蚁在自己的路径上添加信息素
for ant = 1:antNump = antPaths(ant,:);  % 第ant只蚂蚁的路径delta = Q / antDistances(ant);  % 信息素增量（路径越短，增量越大）% 对路径上的每段边更新信息素for i = 1:cityNum-1pheromone(p(i),p(i+1)) = pheromone(p(i),p(i+1)) + delta;pheromone(p(i+1),p(i)) = pheromone(p(i+1),p(i)) + delta;  % 对称更新end% 闭合路径：最后一个城市到起点pheromone(p(end),p(1)) = pheromone(p(end),p(1)) + delta;pheromone(p(1),p(end)) = pheromone(p(1),p(end)) + delta;
end

• 数学公式：
  • 挥发过程：${\tau }_{ij}\leftarrow (1-\rho )\cdot {\tau }_{ij}$（$\rho$为挥发因子，$0<\rho <1$）
  • 沉积过程：每只蚂蚁在路径上的信息素增量与路径长度成反比：
    $$\Delta {\tau }_{ij}^k=\frac{Q}{L_k}$$
    其中$L_k$是第$k$只蚂蚁的路径长度，$Q$是信息素总量常数。
  • 总更新：${\tau }_{ij}\leftarrow (1-\rho )\cdot {\tau }_{ij}+{\sum }_{k=1}^m\Delta {\tau }_{ij}^k$（$m$为蚂蚁数量）

4. 动态可视化

代码通过subplot分两部分可视化：

• 左侧：实时展示当前最优路径（蓝色线条）和城市分布（红色圆点）；
• 右侧：展示最优路径长度随迭代的收敛曲线（蓝色线条）。

drawnow和pause函数实现动画效果，直观展示算法从随机路径逐步逼近最优路径的过程。

三、算法逻辑总结

1. 初始化：生成城市坐标、距离矩阵、初始信息素和启发信息；
2. 迭代优化：
   • 蚂蚁根据转移概率构建路径（短距离+高信息素的路径被优先选择）；
   • 信息素挥发（防止信息素无限积累）+ 沉积（优质路径获得更多信息素）；
   • 更新全局最优路径并记录收敛过程；
3. 终止与输出：达到最大迭代次数后，输出最优路径和长度。

该代码完整实现了蚁群算法解决TSP的核心机制，通过信息素的正反馈和挥发平衡“探索”（尝试新路径）与“利用”（强化优质路径），最终找到近似最优解。动态可视化则直观展示了算法的优化过程。