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【LeetCode 热题 100】39. 组合总和——（解法一）选或不选

news 2025/7/28 1:03:37

Problem: 39. 组合总和
给你一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回。你可以按任意顺序返回这些组合。
candidates 中的同一个数字可以无限制重复被选取。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。
对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

文章目录

整体思路
完整代码
时空复杂度
- 时间复杂度：O(S) 或指数级
- 空间复杂度：O(T)

整体思路

这段代码旨在解决一个经典的组合搜索问题：组合总和 (Combination Sum)。问题要求从一个无重复元素的正整数数组 candidates 中，找出所有和为 target 的组合。一个关键的特点是，数组中的同一个数字可以被无限制地重复使用。

该算法采用了 深度优先搜索 (DFS) 结合 回溯 (Backtracking) 的策略来系统地探索所有可能的组合。其核心逻辑步骤如下：

算法核心：递归与回溯
- 算法的主体是一个名为 dfs 的递归函数。这个函数负责在 candidates 数组中探索所有可能的数字组合。
- “路径”与“结果”：算法使用一个 path 列表来存储当前正在构建的组合（即从根节点到当前节点的路径），以及一个 ans 列表来存储所有已找到的、符合条件的最终组合。
DFS函数设计
- dfs(i, ..., target, ...)：这个函数的设计非常关键。
  - i：代表当前递归层级可以从 candidates[i] 开始选择数字。这个参数是为了避免产生重复的组合（例如，有了 [2, 2, 3] 之后，就不再需要生成 [2, 3, 2]）。通过只向后（或在原地）选择，我们保证了每个组合中的元素是按非递减顺序被选中的。
  - target：表示还需要凑齐的数值。每当选择一个数字，target 就会相应减少。
递归的终止条件（Base Cases）
- 成功找到组合：if (target == 0)。当 target 减为 0，说明当前 path 中的数字之和恰好等于原始的 target。这是一个有效的组合，因此需要将其拷贝一份（new ArrayList<>(path)）存入最终结果 ans 中。必须拷贝，因为 path 本身会在后续的回溯过程中被修改。
- 路径无效：if (i == n || target < 0)。当 i == n，表示已经考虑完了所有候选数字，但仍未凑齐 target；当 target < 0，表示当前组合的和已经超出了 target。这两种情况都说明当前路径是无效的，需要终止这条路的探索，直接 return。
探索与回溯（核心选择逻辑）
- 在 dfs 函数中，对于当前候选数字 candidates[i]，我们面临两个选择：
  a. 不选择 candidates[i]：直接跳过当前数字，去考虑下一个数字 candidates[i+1]。这通过递归调用 dfs(i + 1, ...) 来实现。
  b. 选择 candidates[i]：
  i. 做选择：将 candidates[i] 添加到当前路径 path 中。
  ii. 继续探索：进行下一步递归调用 dfs(i, ..., target - candidates[i], ...)。注意，这里的第一个参数仍然是 i，而不是 i+1。这正是允许重复使用同一个数字的关键所在。
  iii. 撤销选择（回溯）：当上述递归调用返回后（意味着所有从“选择candidates[i]”开始的路径都已探索完毕），必须将刚刚添加的 candidates[i] 从 path 中移除 (path.removeLast())。这个“撤销”操作是回溯的精髓，它使得程序能够返回到上一个状态，去探索其他的可能性（例如，上一个递归层级的不选择分支）。

完整代码

class Solution {/*** 找出所有和为 target 的组合。candidates 中的数字可以被无限制重复使用。* @param candidates 无重复元素的正整数数组* @param target 目标和* @return 所有有效的组合列表*/public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {// ans: 存储所有符合条件的最终组合List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();// path: 存储当前正在构建的组合（路径）List<Integer> path = new ArrayList<>();// 从索引 0 开始进行深度优先搜索dfs(0, candidates, target, ans, path);return ans;}/*** 深度优先搜索（回溯）辅助函数* @param i 当前考虑的候选数字的索引* @param candidates 候选数字数组* @param target 剩余需要凑齐的目标和* @param ans 结果列表* @param path 当前路径*/private void dfs(int i, int[] candidates, int target, List<List<Integer>> ans, List<Integer> path) {int n = candidates.length;// 递归终止条件 1: 索引越界或目标和变为负数，说明此路不通if (i == n || target < 0) {return;}// 递归终止条件 2: 成功找到一个组合if (target == 0) {// 将当前路径的一个快照（副本）加入结果集// 必须创建新列表，因为 path 会在回溯时被修改ans.add(new ArrayList<>(path));return;}// --- 核心选择逻辑 ---// 选择 1: 不使用当前的 candidates[i]，直接考虑下一个数字// 递归地探索不包含当前数字的后续组合dfs(i + 1, candidates, target, ans, path);// 选择 2: 使用当前的 candidates[i]// 2a. 做出选择：将当前数字加入路径path.add(candidates[i]);// 2b. 继续探索：递归调用 dfs。//    - 第一个参数仍为 i，表示可以重复使用当前的 candidates[i]。//    - target 减去当前数字的值。dfs(i, candidates, target - candidates[i], ans, path);// 2c. 撤销选择（回溯）：将刚才加入的数字移除，以便探索其他分支path.removeLast();}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(S) 或指数级

时间复杂度分析对于回溯问题通常比较复杂，因为它取决于搜索树的大小。
设 N 为 candidates 的数量，T 为 target。
搜索树的深度最多为 T / min_val，其中 min_val 是 candidates 中的最小值。在最坏情况下（例如 candidates 中有1），深度可以是 T。
在搜索树的每个节点，我们都可能进行分支。
因此，总的节点数（即 dfs 的调用次数）是指数级的。一个非常粗略的上界可以是 O(N^T)，但这并不精确。更准确的描述是，时间复杂度与解的数量和搜索空间的大小有关。
在每个找到解的叶子节点，我们需要 O(T) 的时间来复制 path 到结果列表中。
一个更被接受的表述是，时间复杂度为 O(S)，其中 S 是搜索树中节点的总数。这个 S 的值是输入 N 和 T 的指数函数。

空间复杂度：O(T)

递归栈深度：空间复杂度的主要部分是递归调用栈的深度。在最坏的情况下，例如 candidates 中有 1，我们需要递归 T 次才能使 target 减到 0。因此，递归栈的最大深度是 O(T)。
path 列表：path 列表存储了当前路径，其最大长度也与递归深度相关，同样是 O(T)。
结果列表 ans：存储最终结果的空间不计入算法的额外辅助空间复杂度。