洛谷 P3478 [POI 2008] STA-Station

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洛谷 P3478 [POI 2008] STA-Station

【题目考点】

1. 树形动规：换根动规

换根动规，又名二次扫描法，一般是给一颗不定根树，通过两次扫描来求解。
我们可以先任选一个根结点root，通过树形动规的思想计算出一个答案。再考虑当root的子结点作为根结点时，答案的变化。
换根动规的三个步骤:

1. 指定某个结点为根结点root。
2. 第一次搜索完成预处理，得到以root为根的解。孩子=>根。
3. 第二次搜索进行换根动规，由已知解的结点推出相邻结点的解。根=>孩子。

【解题思路】

设$dp$数组，$d{p}_u$表示以结点u为整棵树的根时所有结点的深度之和，在无权图中，就是所有结点到根结点的路径长度之和。
$si{z}_u$表示在有根树中以u为根的子树的结点数量。
先将结点1设为整棵树的根结点，进行第一趟dfs，深搜时可知访问到的结点的深度，将深度加和保存在$d{p}_1$。与此同时可以求出$siz$数组，即以结点1为根的有根树中每个子树的结点数。
接下来第二趟dfs，进行换根动规。dfs从结点u访问到邻接点v时，就尝试将整棵树的根从结点u转移到结点v，考察转移后所有结点到整棵树根结点的路径加和的变化。
以v为根的子树中的结点从考虑到结点u的路径转变为考虑到结点v的路径，每条路径长度减少1，共有$si{z}_v$个结点到根结点的路径长度减少，总减少长度为$si{z}_v$。
v的上方子树（除去以v为根的子树外其它结点构成的子树）的结点数为$n-si{z}_v$，从考虑这些结点到结点u的路径转为考虑这些结点到结点v的路径，每条路径长度增加1，总增加长度为$n-si{z}_v$。
因此以结点v为整棵树根结点时，所有结点到v的路径长度加和即所有结点的深度加和为$d{p}_v=d{p}_u-si{z}_v+n-si{z}_v$。这是从双亲到孩子的转移，因此该状态转移方程应该写在调用dfs从孩子开始搜索的语句之前。
最后求出dp数组大值的下标，即为本题的结果。求最大值下标的过程可以在dfs的过程中进行。

【题解代码】

解法1：树形动规 换根动规

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
int n, dep[N], siz[N], mxi = 1;
vector<int> edge[N];
long long dp[N];//dp[u]：整棵树以u为根时所有结点的深度之和 
void dfs1(int u, int fa, int dep)
{dp[1] += dep;siz[u] = 1;for(int v : edge[u]) if(v != fa){dfs1(v, u, dep+1);siz[u] += siz[v];}
}
void dfs2(int u, int fa)
{for(int v : edge[u]) if(v != fa){dp[v] = dp[u]-siz[v]+n-siz[v];dfs2(v, u);}if(dp[u] > dp[mxi])mxi = u;
}
int main()
{int u, v;cin >> n;for(int i = 1; i < n; ++i){cin >> u >> v;edge[u].push_back(v);edge[v].push_back(u);}dfs1(1, 0, 0);dfs2(1, 0);cout << mxi;return 0;
}