3.4 递归函数

1 递归概念

俄罗斯套娃比喻

递归就像打开一个俄罗斯套娃，每个娃娃里面都有一个更小的娃娃，直到最小的那个不能再打开为止。

void openMatryoshka(int size) {if(size == 1) {  // 基本情况 - 最小的娃娃cout << "打开最小的娃娃！" << endl;return;}cout << "打开大小为" << size << "的娃娃" << endl;openMatryoshka(size - 1);  // 打开里面的小娃娃
}

递归三要素

1. 基本情况（Base Case）：递归的终止条件
2. 递归关系（Recursive Relation）：问题与子问题的关系
3. 向基本情况靠近：每次递归调用都应更接近基本情况

递归与循环的比较

特性	递归	循环
实现方式	函数调用自身	重复执行代码块
内存消耗	需要栈空间保存每次调用状态	只需要固定内存
代码可读性	对某些问题更直观	通常更直接
适用问题	树形结构、分治问题	线性重复操作

2 阶乘函数

数学定义

n! = n × (n-1) × … × 1
0! = 1 (特殊情况)

递归实现

int factorial(int n) {// 基本情况if(n == 0 || n == 1) {return 1;}// 递归关系：n! = n * (n-1)!return n * factorial(n - 1);
}

调用过程可视化

factorial(4)
= 4 * factorial(3)
= 4 * (3 * factorial(2))
= 4 * (3 * (2 * factorial(1)))
= 4 * (3 * (2 * 1))
= 4 * (3 * 2)
= 4 * 6
= 24

3 斐波那契数列

数列定义

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)

递归解法

int fibonacci(int n) {if(n == 0) return 0;if(n == 1) return 1;return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}

效率问题讨论

递归解法存在重复计算问题。例如计算fib(5)：

fib(5)
= fib(4) + fib(3)
= (fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
= ... // fib(2)被计算了多次

优化方案：使用记忆化(Memoization)存储已计算结果

int fibMemo(int n, vector<int>& memo) {if(n <= 1) return n;if(memo[n] != -1) return memo[n];memo[n] = fibMemo(n-1, memo) + fibMemo(n-2, memo);return memo[n];
}int fibonacci(int n) {vector<int> memo(n+1, -1);return fibMemo(n, memo);
}

4 递归练习

汉诺塔问题

void hanoi(int n, char from, char to, char aux) {if(n == 1) {cout << "将盘子1从" << from << "移动到" << to << endl;return;}hanoi(n-1, from, aux, to);cout << "将盘子" << n << "从" << from << "移动到" << to << endl;hanoi(n-1, aux, to, from);
}// 调用示例：hanoi(3, 'A', 'C', 'B');

十进制转二进制

void decToBinary(int n) {if(n == 0) return;decToBinary(n / 2);cout << n % 2;
}// 调用示例：decToBinary(10); 输出1010

最大公约数（欧几里得算法）

int gcd(int a, int b) {if(b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}// 调用示例：gcd(48, 18)返回6

递归调试技巧

1. 添加打印语句：跟踪递归调用

int factorial(int n, int depth = 0) {cout << string(depth, ' ') << "计算factorial(" << n << ")" << endl;if(n == 0) return 1;int result = n * factorial(n-1, depth+1);cout << string(depth, ' ') << "返回" << result << endl;return result;
}

2. 绘制调用树：在纸上画出递归过程
3. 使用调试器：观察调用栈的变化

常见递归错误

1. 缺少基本情况：导致无限递归

// 错误示例！
int factorial(int n) {return n * factorial(n-1); // 没有终止条件！
}

2. 不向基本情况靠近：

// 错误示例！
int badRecursion(int n) {if(n == 0) return 1;return badRecursion(n); // 永远不会结束！
}

3. 栈溢出：递归太深导致调用栈溢出

递归与迭代转换

任何递归算法都可以转换为迭代形式（使用栈）：

// 迭代版阶乘
int factorialIter(int n) {int result = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {result *= i;}return result;
}

本章综合练习

1. 基础题：实现递归函数计算数字各位之和，如sumDigits(123)=6
2. 提高题：使用递归判断字符串是否是回文
3. 挑战题：实现递归的二分查找算法
4. 思考题：分析递归计算斐波那契数列的时间复杂度

编程项目：实现一个递归的文件系统扫描器，输出指定目录下的所有文件树形结构（伪代码）：

void printFileTree(string path, int depth = 0) {// 打印当前目录/文件（带缩进）// 如果是目录：//   获取所有子项//   对每个子项递归调用printFileTree
}

性能优化建议

1. 对于深度递归问题，考虑使用迭代解法
2. 使用记忆化(Memoization)优化重复计算
3. 尾递归优化（某些编译器支持）
4. 限制递归深度（设置最大深度）