状压DP学习笔记[浅谈]

状压 DP 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。
by OI Wiki

前语

对于状压，一打开洛谷的题单你就可以看到满屏的蓝和紫，是不是很吓人，显然就是很吓人
状压题目一般有一个同性，就是数据范围不会特别大，一般卡在 $16-20$ 之间，这就是一个非常显然的提示了，当你发现爆搜无从下手或者肯定会炸的时候，就可以开始考虑状压DP了。
状压叫做状压的原因和他的状态设计有关，如果是背包状态大多是前几件物品放多少空间可获得的最大价值，而状压的状态中，有一个条件一般是由二级制表示的，后续在例题中可以快速理解状压状态的定义。

前置知识

在学习状压之前要先学习几种二级制下的位运算。

1. &:与运算，在二进制状态下 $1100101$ & $1001001$ = $1000001$ 即两位都为1返回$1$否则皆返回$0$，位数不足向后对齐，其余位数补$0$.
2. |:或运算，在二进制状态下 $1100101$ & $1001001$ = $1101101$ 即两位只要有一位为$1$返回$1$否则皆返回$0$，位数不足向后对齐，其余位数补$0$.
3. ^:异或运算，在二进制状态下 $1100101$ & $1001001$ = $0101100$ 即两位不相同返回$1$否则皆返回$0$，位数不足向后对齐，其余位数补$0$.
   知道了上述运算后，即可开始入门状压DP。

例题

P1896 [SCOI2005] 互不侵犯 （来自洛谷)
题目大意：
在 $N\times N$ 的棋盘里面放 $K$ 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 $8$ 个格子。

分析

对于本题，我们将设置的状态应当可以说明各个位置是否放有国王，按照正常思路，我们会开一个数组，然后在其中对应位置赋值为 $0$ 或 $1$ 来表示该位置是否有国王，但是这很浪费空间，所以就有了状压，状压便将这一个数组变成了一个 $01$ 组成的二进制数，因为二进制数的唯一性，所有每一个二进制数都可以变成唯一的一个十进制整数由此，大大减小了空间上的开支。

状态设计

按照 dp 的套路，我们设状态：dp[i][j][S] 表示选到了第 i 行，第 i 行的状态为 S，用了 j 个国王的最优方案个数；
那么如何转移呢？我们知道国王的攻击范围是周围的 $8$ 个格子，所以这些格子是不可以放其他国王的，应该在状压枚举的时候避开，那么如何避开呢，由于我们提前用 $S$ 表示了国王的位置状态，所以可以根据 $S$ 来对国王可放位置进行判断。
至于如何判断，那么就可以使用到上面铺垫的位运算了。
如果在一个国王的正下方有一个国王，那么 $S1$ & $S2$ 肯定 $!=0$ 好理解吧。那么如果在左下角或者右下角呢？那就位移一下就好了啊 $<<$ 与 $>>$ 可以分别将一个数的二进制形态向左或右位移一格（向左最右边会补0)，所以又可以写出新的式子。由此行外判断部分便解决了。
同理，在行内也需要通过左右位移数列来判断当前方法的合法性。即如果相邻的两个都放了国王将数列向右移再与原数列做 & 运算必不等于 $0$ 。
到这里为止，本题的大致内容都已经展现了，剩下的就是基本的动态规划转移推到，请读者自行推导或滑到本文最下方阅读题解。

总结

状压DP是Noip及更高级别竞赛常考内容，需要多加联系以巩固提高。
下面给出以下比较好的练手题目：

1. 互不侵犯(洛谷)
2. 最长上升子序列(洛谷)
3. PRZ
4. Genshin Impact Startup Forbidden III
   本人实力有限，如有不足欢迎大佬们提出。