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C++进阶课程第4期——动态规划

news 2025/7/22 10:10:50

大家好，我是清墨，欢迎收看《C++进阶课程——动态规划dp》。

那么前几期都十分的顺利，我们直接开始~~~~

例题——抢金块

题目描述

地面上有一些格子，每个格子上面都有金块，但不同格子上的金块有不同的价值，你一次可以跳 S 至 T 步。

例如 S=2，T=4，你就可以跳 2 步、3 步或 4 步。

你从第一个格子起跳，必须跳到最后一个格子上，请你输出最多可以获得的金块的总价值。

输入格式

第 1 行是格子个数 n (n<=1000)；

第 2 行是 S 和 T，保证 T 大于 S (2≤S<T≤10)；

第 3 行是每个格子上的金块价值 $p_{i}$ (1≤ $p_{i}$ ≤10000)。

输出格式

输出最多可以获得的金块的总价值。如果不能走到第 n 个格子，输出 0.

样例

输入数据 1

10
2 3
4 5 8 2 8 3 6 7 2 9

输出数据 1

样例解释

跳 1、3、5、8、10 这些位置，总价值：4+8+8+7+9=36。

讲解

题目

我们可以先想像一下，想象一只青蛙在荷叶上跳跃，每片荷叶上有不同数量的昆虫，青蛙每次可以跳1-2片荷叶的距离，如何规划路线才能吃到最多的昆虫？

我们首先可以建立一下参数，n：荷叶总数（位置编号1-n），s/t：最小/最大跳跃步数，x[]：每个位置的昆虫数量。

这个时候我们可以定义一个数组，第 $i$ 个用来存储第 $i$ 个位置能得到的最多昆虫，我们把这个数组的名字叫做 $dp$ ，即 $dp_{i}$ 代表到达位置i时的最大收获。

而 $dp$ 数组的取名是这样得来的，Dynamic Programming。

我们可以思考一下，回到题目，我们要怎样求出 $dp_{i}$ 呢？

我们发现 $dp_{i}$ 是由 $dp_{i-t}$ ~ $dp_{i-s}$ 中的最大值决定的

所以可以敲出这样的代码：

for(int i=1;i<n;i++)
{if(dp[i]==0) {continue; }for(int j=s;j<=t;j++){if(i+j<=n){dp[i+j]=max(dp[i+j],dp[i]+x[i+j]);			}}	
}

这里就是动态规划的主体了。

而我们把形如 $dp_{i+j}=max(dp_{i+j},dp_{i}+x_{i+j})$ 的叫做动态规划中的动态转移方程：我们设计好一些关键信息，称为状态。推演的过程里面，往往会有一个初始的状态，然后我们从已知的状态推演出新的状态，一个状态推演结束之后，这个状态在后期就不需要改变了（如果改变，那就说明你构思出来的算法是不对的，要重新构思）。写程序之前，我们要能讲清楚状态是如何转移的，这可以用一个状态转移方程来描述。

动态规划算法的解题是把一个大问题变成一个小一点点的问题，小一点点的问题又变成了一个更小一点点的问题，到了这个问题足够小的时候，我们就能知道问题的答案，然后就可以解决大一点点的问题，然后再解决更大的问题。问题的规模可以变化，但是问题的性质是保持不变的。

动态规划与分治

如果说以前学过分治的同学，可以参考如下动态规划与分治的区别：

一、共同点

‌分治思想‌：两者均通过分解复杂问题为子问题来解决原问题。
‌递归与合并‌：均可能通过递归实现子问题的分解，并合并子问题的解。

二、核心区别

‌子问题独立性‌
- 分治法：子问题相互独立，无重叠（如归并排序的左右子数组排序）。
- 动态规划：子问题存在重叠，需存储中间解避免重复计算（如斐波那契数列）。
‌最优子结构‌
- 动态规划要求问题具有最优子结构（如最短路径问题），而分治法仅需子问题独立求解（如快速排序）。
‌实现方式‌
- 分治法通常使用纯递归，可能效率较低。
- 动态规划通过迭代或记忆化递归（如状态转移方程）优化效率。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,dp[1001],x[1001],s,t,ans;
int main()
{cin>>n>>s>>t;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x[i];}dp[1]=x[1];for(int i=1;i<n;i++){if(dp[i]==0) {continue; }for(int j=s;j<=t;j++){if(i+j<=n){dp[i+j]=max(dp[i+j],dp[i]+x[i+j]);			}}	}cout<<dp[n];return 0;
}

练习

题目

传球游戏

n 个同学围成一圈，编号为1到n（假设小蛮是 1 号）。游戏开始时球在小蛮手中，传球规则如下：

每次传球时，持球同学可将球传给‌左侧或右侧‌的任意一名同学12。
传球进行 m 次后停止，若球最终回到小蛮（1 号）手中，则视为一种有效传球方法12。
两种传球方法不同，当且仅当接球顺序的序列不同（例如 1→2→3→1 和 1→3→2→1 视为两种方法）。

‌输入‌
两个整数 n 和 m（3 ≤ n ≤ 30，1 ≤ m ≤ 30），分别表示同学人数和传球次数。

‌输出‌
一个整数，表示传球 m 次后球回到小蛮手中的不同方法总数。

‌示例‌
当 n=3、m=3 时，有效方法为 1→2→3→1 和 1→3→2→1，输出 2。

分析

我们可以进行一个分析：

假设只有4个人时，将四个人各自标记成A，B，C，D。

刚开始球可以传给B，C，D，所以传给B有1种可能，传给C也有1种可能，传给D也有1种可能。

那么，以此类推：

传球n次后传到A同学的可能数=传球n-1次后传到B同学的可能数+传球n-1次后传到D同学的可能数

即 $A_{n}=B_{n-1}+D_{n-1}$ ，同样的 $B_{n}=C_{n-1}+A_{n-1}$ ， $C_{n}=B_{n-1}+D_{n-1}$ 。

那么我们可以逐层遍历。（特别的， $A_{0}=1$ ）

只需要考虑边界就能解决了！

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
long long a[3000][3000];
int main(){cin>>n>>m;a[1][0]=1;for(int j=1;j<=m;j++){for(int i=1;i<=n;i++){if(i>1&&i<n)a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i+1][j-1];else if(i==1)a[i][j]=a[n][j-1]+a[i+1][j-1];else a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[1][j-1];}}cout<<a[1][m];return 0;
}

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