Dijkstra 算法求解多种操作
一、问题背景与核心需求
需要找到从a到b的最优操作序列，使得总花费最小。三种操作的规则为：
- 操作 1：
x → x+1，花费c1； - 操作 2：
x → x-1，花费c2； - 操作 3：
x → x*2，花费c3。
例如：若a=7，b=9，c1=1000，c2=1，c3=1，最优路径可能是7→5→10→9（先减 2 次到 5，乘 2 到 10，再减 1 到 9），总花费2*c2 + c3 + c2，比直接加 2 次（2*c1）更便宜。
我们发现，路径的选择是非常多种多样的，无法靠人力去完整的思考有哪些可能。
二、算法选择与设计
1. 问题转化为图论模型
将每个整数视为节点，每种操作视为有向边（边权为操作花费）。例如：
- 节点
x到x+1有一条边，权值c1； - 节点
x到x-1有一条边，权值c2； - 节点
x到2x有一条边，权值c3。
问题转化为：在该图中寻找从节点a到节点b的最短路径（总权值最小）。
Dijkstra 算法求解单源最短路径
2. 为何用 Dijkstra 算法？
Dijkstra 算法#图论-CSDN博客
- 所有操作的花费（边权）均为非负数（题目隐含
c1,c2,c3≥0），无负权边； - Dijkstra 算法适合求解单源最短路径（从
a到b），且在非负权图中效率高。
3. 搜索范围的确定（limit = max(a,b)*2）
需要限制节点范围，否则节点可能无限大（如多次乘 2）。选择max(a,b)*2的原因：
- 最优路径可能需要 “超过
b再返回”，例如a=7→5→10（>9）→9（b=9）； max(a,b)*2足够覆盖此类情况，避免遗漏最优路径。
三、代码细节解析
1. 特殊情况处理（a > b）
当a > b时，加 1 或乘 2 会使a更大，远离b，最优策略只能是持续减 1，因此直接计算花费：(a - b) * c2。
2. Dijkstra 算法实现
- 距离数组
dist：dist[v]表示从a到v的最小花费，初始化为inf（无穷大），dist[a] = 0（起点花费为 0）。 - 优先队列
pq：小根堆（按花费升序），存储(当前花费, 节点)，每次取出花费最小的节点处理。 - 邻接点生成：对当前节点
u，生成三个邻接点：u+1（花费c1）；u-1（花费c2）；u*2（花费c3）。
- 松弛操作：若通过
u到达v的花费（curdist + w）小于已知最小花费dist[v]，则更新dist[v]并加入队列。
3. 终止条件
当队列中取出的节点为b时，说明已找到a到b的最短路径，可直接退出循环。
四、示例说明
以a=7，b=9，c1=1000，c2=1，c3=1为例：
- 节点范围
limit = max(7,9)*2 = 18，覆盖可能的路径节点（如 10）。 - 初始
dist[7] = 0，队列加入(0,7)。 - 处理节点 7 时，邻接点为 8（花费 1000）、6（花费 1）、14（花费 1），更新对应
dist并加入队列。 - 后续处理节点 6（花费 1），邻接点 5（花费 1+1=2）、7（已处理）、12（花费 1+1=2）。
- 处理节点 5（花费 2），邻接点 6（花费更高，跳过）、4（花费 3）、10（花费 2+1=3）。
- 处理节点 10（花费 3），邻接点 11（花费 3+1000）、9（花费 3+1=4），此时
dist[9] = 4，找到目标，退出。
最终输出4，符合最优路径花费。
五、码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; // 定义无穷大// 解决从数字a变为b的最小花费问题
void solve() {ll a, b, c1, c2, c3;cin >> a >> b >> c1 >> c2 >> c3;// 当a大于b时，只能不断减1，直接计算花费if (a > b) {cout << (a - b) * c2 << '\n';return;}// 确定搜索的上限：覆盖可能需要超过b再返回的情况ll limit = max(a, b) * 2;// 初始化距离数组，dist[x]表示从a到x的最小花费vector<ll> dist(limit + 1, inf);// 优先队列，按花费从小到大排序priority_queue<pair<ll, ll>, vector<pair<ll, ll>>, greater<>> pq;// 起点a的花费为0dist[a] = 0;pq.emplace(0, a);// Dijkstra算法主循环while (!pq.empty()) {// 取出当前花费最小的节点auto [curdist, u] = pq.top();pq.pop();// 到达目标值b，输出结果并终止if (u == b)break;// 跳过已处理的过时路径if (curdist > dist[u])continue;// 生成三种操作对应的邻接点和边权vector<pair<ll, ll>> adj = {{u + 1, c1}, // 操作1：加1，花费c1{u - 1, c2}, // 操作2：减1，花费c2{u * 2, c3} // 操作3：乘2，花费c3};// 遍历所有邻接点，进行松弛操作for (auto [v, w] : adj) {// 检查节点范围并更新最短路径if (1 <= v && v <= limit) {ll newdist = curdist + w;if (newdist < dist[v]) {dist[v] = newdist;pq.push({newdist, v});}}}}// 输出到达b的最小花费cout << dist[b] << '\n';
}int main() {// 优化输入输出效率ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);ll t = 1;cin >> t;while (t--)solve();
}