多维动态规划题解——最长公共子序列【LeetCode】记忆化搜索翻译成递推
143. 最长公共子序列
方法一：记忆化搜索
一、算法逻辑（每一步思路）
❓ 问题描述：
给定两个字符串 text1 和 text2，返回它们的最长公共子序列的长度。
公共子序列：在两个字符串中都出现过，且相对顺序一致，但不要求连续。
✅ 解题思路（递归 + 记忆化）
1. 状态定义：
定义 dfs(i, j) 表示：
- 在
text1[0..i]和text2[0..j]中的最长公共子序列的长度。
2. 状态转移：
if text1[i] == text2[j]:dfs(i, j) = dfs(i-1, j-1) + 1
else:dfs(i, j) = max(dfs(i-1, j), dfs(i, j-1))解释：
- 如果当前两个字符相等，则这个字符可以作为公共子序列的一部分，答案 +1；
- 如果不相等，我们可以选择跳过一个字符，取两种可能中的最大值。
3. 终止条件（Base Case）：
if i < 0 or j < 0:return 0表示有一个字符串已经空了，公共子序列长度为 0。
4. 返回值：
最终返回 dfs(n - 1, m - 1)，即原字符串全部范围的 LCS 长度。
二、算法核心点
✅ 核心技巧：记忆化搜索 + 状态递归
- 通过
@cache进行记忆化，避免重复计算（如果不用 cache，会超时）； - 状态空间是
(i, j)二维的。
这等价于二维动态规划的形式，但使用递归写法逻辑更清晰。
class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:n, m = len(text1), len(text2)@cachedef dfs(i:int, j:int) -> int:if i<0 or j<0:return 0if text1[i] == text2[j]:return dfs(i-1, j-1)+1return max(dfs(i-1, j), dfs(i, j-1))return dfs(n-1, m-1)三、复杂度分析
- 时间复杂度：O(n * m)
每个(i, j)状态只会被访问一次。 - 空间复杂度：O(n * m)
用于保存缓存结果（memo）和递归栈深度。
✅ 举个例子
输入：
text1 = "abcde"
text2 = "ace"执行过程：
"abcde" 与 "ace"
比较 'e' 和 'e' -> 相等 => +1，继续比较 'd' 与 'c' ...
最终返回公共子序列是 "ace"，长度为 3。✅ 总结表
| 维度 | 内容 |
| ✅ 思路逻辑 | 定义 dfs(i, j)：text1[0..i] 与 text2[0..j] 的 LCS 长度 |
| ✅ 状态转移 | 相等则 +1，否者取左/上两种子问题最大值 |
| ✅ 技巧 | 递归 + 记忆化（Top-down DP） |
| ✅ 时间复杂度 | O(n * m) |
| ✅ 空间复杂度 | O(n * m) |
方法一：1:1 翻译成递推
✅ 一、核心思路解析
❓ 问题：
给定两个字符串 text1 和 text2，找出它们的最长公共子序列的长度。
✅ 解题思路（二维 DP）
1. 状态定义：
定义二维数组 f：
f[i][j]表示text1[0..i-1]与text2[0..j-1]的最长公共子序列长度。
注意这里的偏移：我们实际比较的是字符串的前 i 和前 j 个字符，但 f 的下标是从 1 开始的（第 0 行/列为 base case）。
2. 状态转移方程：
if text1[i] == text2[j]:f[i+1][j+1] = f[i][j] + 1
else:f[i+1][j+1] = max(f[i][j+1], f[i+1][j])解释：
- 如果两个字符相等，则这个字符可以加入公共子序列。
- 否则，继承“去掉当前一个字符”的最优解。
3. 初始化：
f = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]第一行和第一列代表一个字符串为空时，LCS 长度为 0。
4. 最终答案：
return f[n][m]表示完整的两个字符串的 LCS 长度。
class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:n, m = len(text1), len(text2)f = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]for i,x in enumerate(text1):for j,y in enumerate(text2):if x==y:f[i+1][j+1] = f[i][j]+1else:f[i+1][j+1] = max(f[i][j+1], f[i+1][j])return f[n][m]✅ 二、图解对比示意
假设输入：
text1 = "abcde"
text2 = "ace"DP 表格 f：
| "" | a | c | e | |
| "" | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 1 | 1 | 1 |
| b | 0 | 1 | 1 | 1 |
| c | 0 | 1 | 2 | 2 |
| d | 0 | 1 | 2 | 2 |
| e | 0 | 1 | 2 | 3 |
结果是 3，对应 LCS 为 "ace"。
✅ 三、复杂度分析
- 时间复杂度：O(n * m)
两层循环枚举所有子串组合。 - 空间复杂度：O(n * m)
使用了二维数组f[n+1][m+1]。
可进一步优化为 O(m) 空间，用一维滚动数组，但二维形式更直观清晰。
✅ 总结表格
| 项目 | 内容 |
| 状态定义 |
|
| 状态转移 | 如果相等： |
| 初始值 |
|
| 返回值 |
|
| 时间复杂度 |
|
| 空间复杂度 |
|