切比雪夫距离
1. 基本定义
切比雪夫距离是度量空间中两个点之间的最大绝对差，适用于多维空间中的距离计算。
- 数学形式：
对于 n 维空间中的点 x=(,
,…,
) 和 y=(
,
,…,
)，其切比雪夫距离为：
- 别称：棋盘距离（Chessboard Distance），因在国际象棋中王移动到任意相邻格子的步数均为1。
2. 几何意义
- 二维空间示例：
若两点 (x1,y1) 和 (x2,y2) 的切比雪夫距离为 d，则两点位于以彼此为中心、边长为 2d 的正方形的边界上（如图）。 - 与曼哈顿距离的关系：
切比雪夫距离是曼哈顿距离在旋转45度后的极限情况（L∞ 范数 vs L1 范数）。
3. 核心特性
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| 平移不变性 | 距离不受坐标系平移影响。 |
| 旋转敏感性 | 对非45度倍数的旋转不保持距离（与欧氏距离不同）。 |
| 网格适用性 | 适用于棋盘格、像素网格等离散空间（如图像处理、路径规划）。 |
4. 与其他距离度量的对比
| 距离类型 | 公式（二维） | 适用场景 |
|---|---|---|
| 欧氏距离 | 连续空间中的物理距离（如几何问题）。 | |
| 曼哈顿距离 | $ | x_1-x_2 |
| 切比雪夫距离 | $ \max( | x_1-x_2 |
6. 计算示例
- 问题：计算点 A(1,3)和 B(4,7)的切比雪夫距离。
- 解：