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算法学习笔记：23.贪心算法之活动选择问题 ——从原理到实战，涵盖 LeetCode 与考研 408 例题

news 2025/7/16 7:29:34

活动选择问题是贪心算法的经典应用场景，其核心是在有限资源（如时间、空间）下，选择最多数量的互不冲突活动。无论是在算法竞赛、实际项目开发，还是考研计算机专业基础综合（408）中，活动选择问题及其变种都是高频考点。

活动选择问题核心思路

问题定义

假设有n个活动，每个活动i有起始时间s[i]和结束时间f[i]。若两个活动的时间区间[s[i], f[i])和[s[j], f[j])不重叠，则称它们是兼容的。活动选择问题的目标是：在所有活动中选择最大数量的兼容活动集合。

贪心策略

活动选择问题的最优解可通过贪心策略获得，核心思路是：每次选择结束时间最早的活动，剩余时间可容纳更多活动。这一策略的正确性基于以下两点：

贪心选择性质：选择结束时间最早的活动后，剩余问题的最优解与原问题的最优解兼容。

最优子结构：若A是原问题的最优解，包含活动k，则A' = A - {k}是子问题（活动k结束后剩余的活动）的最优解。

算法步骤

排序活动：按活动的结束时间f[i]升序排序。
初始化选择：选择第一个活动（结束时间最早）加入结果集。
迭代选择：遍历剩余活动，若当前活动的起始时间≥最后选中活动的结束时间，则选中该活动，更新 “最后选中活动” 为当前活动。
返回结果：结果集即为最大兼容活动集合。

算法流程

（活动示例：A1 (1,4), A2 (3,5), A3 (0,6), A4 (5,7), A5 (3,9), A6 (5,9), A7 (6,10), A8 (8,11), A9 (8,12), A10 (2,14), A11 (12,16)）

`LeetCode例题实战`

`例题1：435. 无重叠区间（中等）`

题目描述：给定一个区间集合，找到需要移除区间的最小数量，使得剩余区间互不重叠。

输入：[[1,2],[2,3],[3,4],[1,3]]

输出：1

解释：移除 [1,3] 后，剩余区间 [[1,2],[2,3],[3,4]] 互不重叠。

`解题思路`

本题是活动选择问题的变种：**移除最少区间 = 总区间数 - 最大兼容区间数**。

1. 按区间结束时间升序排序。
2. 用活动选择算法找到最大兼容区间数`maxCount`。
3. 结果为`总区间数 - maxCount`。

`算法图示（示例输入）`

代码实现

import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;class Solution {public int eraseOverlapIntervals(int[][] intervals) {if (intervals == null || intervals.length == 0) {return 0;}// 按结束时间升序排序Arrays.sort(intervals, Comparator.comparingInt(a -> a[1]));int count = 1; // 至少选择1个区间int lastEnd = intervals[0][1]; // 最后选中区间的结束时间for (int i = 1; i < intervals.length; i++) {int start = intervals[i][0];// 若当前区间起始时间≥最后结束时间，选中该区间if (start >= lastEnd) {count++;lastEnd = intervals[i][1];}}// 总区间数 - 最大兼容数 = 需移除的数量return intervals.length - count;}}

复杂度分析

时间复杂度：O (nlogn)，排序占主导。

空间复杂度：O (logn)，排序的递归栈空间（Java Arrays.sort 的实现）。

例题 2：646. 最长数对链（中等）

题目描述：给出n对数字[a, b]，若(c > b)，则数对[c, d]可跟在[a, b]后面形成链。求最长数对链的长度。

示例：

输入：[[1,2], [2,3], [3,4]]

输出：2（如[1,2]→[3,4]）

解题思路

本题与活动选择问题完全一致：选择最长的兼容数对链，策略是按b（结束值）升序排序，每次选择结束值最小且与前一数对兼容的数对。

代码实现

import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;class Solution {public int findLongestChain(int[][] pairs) {if (pairs == null || pairs.length == 0) {return 0;}// 按数对的结束值升序排序Arrays.sort(pairs, Comparator.comparingInt(a -> a[1]));int length = 1;int lastEnd = pairs[0][1];for (int i = 1; i < pairs.length; i++) {int start = pairs[i][0];if (start > lastEnd) { // 注意：题目要求c > b，而非≥length++;lastEnd = pairs[i][1];}}return length;}}

复杂度分析

时间复杂度：O (nlogn)，排序占主导。

空间复杂度：O (logn)，排序的递归栈空间。

考研 408 例题解析

例题 1：活动选择问题变形（选择题）

题目：已知 10 个活动的起始和结束时间如下表，采用贪心算法（选择结束时间最早的活动）选择最大兼容活动集合，选中的活动数为（）。
活动
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
开始时间
1
3
0
5
3
5
6
8
8
2
结束时间
4
5
6
7
9
9
10
11
12
14
选项：A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解题步骤

排序活动：按结束时间升序排序后的活动顺序为：1 (1,4)、2 (3,5)、4 (5,7)、3 (0,6)❌（原结束时间 6，应在 2 之后）、7 (6,10)❌、5 (3,9)❌、6 (5,9)❌、8 (8,11)、9 (8,12)、10 (2,14)。

- 修正排序后正确顺序：1 (4)、2 (5)、4 (7)、8 (11)、9 (12)（其余活动因结束时间晚被排除）。

选择过程：

- 选活动 1（结束 4）。

- 选活动 4（开始 5 ≥ 4）。

- 选活动 8（开始 8 ≥ 7）。

- 选活动 9（开始 8 < 11，不选）→ 无更晚活动，总选中 4 个？

- （实际正确排序应包含活动 7 (6,10)，修正后选中 1→4→7→8，共 4 个？此处可能题目数据存在误差，正确答案应为 A.4）

答案总结

通过贪心选择，最大兼容活动数为 4，故答案为A。

例题 2：算法设计题（408 高频考点）

题目：设计一个贪心算法，在n个活动中选择最大数量的兼容活动，要求活动不仅时间不重叠，且每个活动需要占用k个资源，资源总数为m（k ≤ m）。即：同时进行的活动数不能超过m/k。

解题思路

扩展贪心策略：原问题中 “同时进行的活动数≤1”，本题扩展为 “同时进行的活动数≤c（c = m/k）”。
排序活动：按结束时间升序排序。
分组选择：维护c个 “最后结束时间”，每次选择起始时间≥某一组最后结束时间的活动，加入该组并更新其最后结束时间。

代码实现（简化版，c=2）

import java.util.*;public class ResourceConstrainedActivity {public int maxActivities(int[][] activities, int c) {if (activities == null || activities.length == 0) return 0;// 按结束时间升序排序Arrays.sort(activities, Comparator.comparingInt(a -> a[1]));List<Integer> lastEnds = new ArrayList<>(); // 存储每组最后结束时间int count = 0;for (int[] act : activities) {int start = act[0];int end = act[1];boolean added = false;// 尝试加入某一组for (int i = 0; i < lastEnds.size(); i++) {if (start >= lastEnds.get(i)) {lastEnds.set(i, end);added = true;count++;break;}}// 若组未满，新建一组if (!added && lastEnds.size() < c) {lastEnds.add(end);count++;}}return count;}}