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算法学习笔记：19.牛顿迭代法——从原理到实战，涵盖 LeetCode 与考研 408 例题

news 2025/7/14 6:32:22

牛顿迭代法（Newton's Method）是一种强大的数值计算方法，由英国数学家艾萨克・牛顿提出。它通过不断迭代逼近方程的根，具有收敛速度快、适用范围广的特点，在科学计算、工程模拟、计算机图形学等领域有着广泛应用。

牛顿迭代法核心思路

算法原理

牛顿迭代法的核心思想是用切线逼近曲线，通过迭代逐步缩小与方程根的距离。对于方程\(f(x) = 0\)，其迭代公式为：
\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
其中：
\(x_n\) 是第\(n\)次迭代的近似根
\(f'(x_n)\) 是函数\(f(x)\)在\(x_n\)处的导数
\(x_{n+1}\) 是第\(n+1\)次迭代的近似根

几何意义

牛顿迭代法的几何意义是：在每一次迭代中，用函数\(f(x)\)在\(x_n\)处的切线代替曲线，将切线与\(x\)轴的交点\(x_{n+1}\)作为新的近似根。通过不断重复这一过程，近似根会快速收敛到方程的真实根。

以下是用 mermaid 绘制的牛顿迭代法几何示意图（以\(f(x) = x^2 - 2\)求解\(\sqrt{2}\)为例）：

算法流程

牛顿迭代法的基本流程如下：

选择初始近似根\(x_0\)（初始值的选择对收敛速度影响较大）。
计算函数值\(f(x_n)\)和导数值\(f'(x_n)\)。
代入迭代公式计算\(x_{n+1}\)。
判断\(|x_{n+1} - x_n|\)是否小于预设精度\(\epsilon\)（如\(10^{-6}\)）：
若满足，则\(x_{n+1}\)即为近似根，迭代结束。
若不满足，则令\(x_n = x_{n+1}\)，返回步骤 2 继续迭代。

其流程可用以下流程图表示：

收敛性分析

收敛条件：若函数\(f(x)\)在根的邻域内二阶可导且一阶导数不为 0，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且收敛阶为 2（二次收敛），即误差以平方级速度减小。

影响因素：

- 初始值\(x_0\)的选择：若初始值离真实根过远，可能导致迭代发散或收敛到其他根。

- 导数为 0 的情况：若\(f'(x_n) = 0\)，迭代公式无意义，需特殊处理。

LeetCode 例题实战

例题 1：69. x 的平方根（简单）

题目描述：给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的算术平方根。由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

示例：

输入：x = 8

输出：2

解释：8 的算术平方根是 2.82842...，由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

解题思路：将问题转化为求方程\(f(t) = t^2 - x = 0\)的非负根，使用牛顿迭代法求解：

初始值选择：当\(x \geq 1\)时，取\(x_0 = x\)；当\(x = 0\)时，直接返回 0。

迭代公式：\(f(t) = t^2 - x\)，\(f'(t) = 2t\)，代入迭代公式得\(t_{n+1} = \frac{1}{2}(t_n + \frac{x}{t_n})\)。

收敛判断：当\(|t_{n+1} - t_n| < 1\)时，整数部分已稳定，可停止迭代，返回\(t_{n+1}\)的整数部分。

代码实现：

class Solution {public int mySqrt(int x) {if (x == 0) {return 0;}double x0 = x; // 初始值double x1 = (x0 + x / x0) / 2; // 第一次迭代// 迭代直至精度满足要求（差值小于1）while (Math.abs(x1 - x0) >= 1) {x0 = x1;x1 = (x0 + x / x0) / 2;}return (int) x1;}}

复杂度分析：

时间复杂度：\(O(\log x)\)，牛顿迭代法具有二次收敛性，迭代次数与\(x\)的大小呈对数关系。

空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间。

说明：代码中使用 double 类型存储中间结果以保证精度，最后通过强制类型转换取整数部分。

例题 2：367. 有效的完全平方数（简单）

题目描述：给定一个正整数 num ，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

示例：

输入：num = 16

输出：true

输入：num = 14

输出：false

解题思路：同样转化为求方程\(f(t) = t^2 - num = 0\)的根，若根为整数，则 num 是完全平方数：

用牛顿迭代法求出近似根\(t\)。

验证\(t\)的整数部分\(k\)是否满足\(k^2 = num\)，若是则返回 true，否则返回 false。

代码实现：

class Solution {public boolean isPerfectSquare(int num) {if (num < 1) {return false;}if (num == 1) {return true;}double x0 = num;double x1 = (x0 + num / x0) / 2;// 迭代至精度足够高（差值小于1e-6）while (Math.abs(x1 - x0) > 1e-6) {x0 = x1;x1 = (x0 + num / x0) / 2;}int k = (int) Math.round(x1); // 四舍五入取整数return k * k == num;}}

复杂度分析：

时间复杂度：\(O(\log num)\)，迭代次数与 num 的大小呈对数关系。

空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间。

说明：通过四舍五入处理近似根，确保整数部分的准确性，再验证是否为完全平方数。

例题 3：50. Pow (x, n)（中等）

题目描述：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的整数 n 次幂函数（即，\(x^n\)）。

示例：

输入：x = 2.00000, n = 10

输出：1024.00000

解题思路：当\(n\)为负整数时，\(x^n = 1 / x^{-n}\)，因此可先处理\(n\)为非负的情况。对于\(n > 0\)，可通过牛顿迭代法求指数函数，但更简单的方式是结合快速幂思想优化：

转化问题：计算\(e^{n \ln x}\)（利用指数与对数的关系\(x^n = e^{n \ln x}\)）。

牛顿迭代法求指数函数：但实际中更高效的是使用快速幂（分治法），此处仅展示牛顿迭代法在指数计算中的思路。

补充说明：本题虽更适合用快速幂，但牛顿迭代法可用于求解\(e^y\)的近似值（通过求方程\(f(t) = e^t - y = 0\)的根），进而间接计算\(x^n\)。以下代码展示牛顿迭代法求\(e^y\)的思路：

class Solution {// 计算e^y的近似值private double exp(double y) {if (y < 0) {return 1 / exp(-y);}double t0 = y + 1; // 初始值double t1 = t0 - (Math.exp(t0) - y - 1) / Math.exp(t0); // 迭代公式（针对f(t)=e^t - t - 1 - y）while (Math.abs(t1 - t0) > 1e-6) {t0 = t1;t1 = t0 - (Math.exp(t0) - t0 - 1 - y) / (Math.exp(t0) - 1);}return Math.exp(t1) - 1;}public double myPow(double x, int n) {if (n == 0) {return 1.0;}long N = n; // 处理n为Integer.MIN_VALUE的情况if (N < 0) {x = 1 / x;N = -N;}// 利用x^N = e^(N ln x)return exp(N * Math.log(x));}}

说明：本题中牛顿迭代法并非最优解，但展示了其在超越函数计算中的应用。实际解题中，快速幂（时间复杂度\(O(\log |n|)\)）更为高效。

考研 408 例题解析

例题 1：数值计算应用题（408 高频考点）

题目：用牛顿迭代法求方程\(f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0\)在\(x_0 = 2\)附近的实根，要求迭代 3 次，并计算迭代误差。

解题步骤：

确定函数与导数：\(f(x) = x^3 - 2x - 5\)，\(f'(x) = 3x^2 - 2\)。
迭代公式：\(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - 2x_n - 5}{3x_n^2 - 2}\)。
计算前 3 次迭代：
第 1 次：\(x_0 = 2\)，\(f(x_0) = 8 - 4 - 5 = -1\)，\(f'(x_0) = 12 - 2 = 10\)，\(x_1 = 2 - (-1)/10 = 2.1\)。
第 2 次：\(f(x_1) = 2.1^3 - 2*2.1 - 5 ≈ 9.261 - 4.2 - 5 = 0.061\)，\(f'(x_1) ≈ 3*(2.1)^2 - 2 ≈ 13.23 - 2 = 11.23\)，\(x_2 ≈ 2.1 - 0.061/11.23 ≈ 2.0946\)。
第 3 次：\(f(x_2) ≈ (2.0946)^3 - 2*(2.0946) - 5 ≈ 0.0003\)，\(f'(x_2) ≈ 3*(2.0946)^2 - 2 ≈ 11.16\)，\(x_3 ≈ 2.0946 - 0.0003/11.16 ≈ 2.09455\)。
迭代误差：\(|x_3 - x_2| ≈ 0.00005\)，已非常接近真实根（约 2.09455）。

答案：经过 3 次迭代，近似根为\(2.09455\)，迭代误差约为\(5 \times 10^{-5}\)。