Augmented Nested Arrays With Enhanced DOF and Reduced Mutual Coupling

摘要——最近，非均匀线性阵列（例如，互质/嵌套阵列）因其能够生成虚拟差分协同阵列而在阵列信号处理领域引起了研究人员的极大关注。在阵列设计中，一个关键问题是如何放置传感器以获得最佳性能，旨在同时实现最大自由度容量和最小互耦比。本文提出了一种增广嵌套阵列的概念，通过将嵌套阵列的密集子阵列分成几个部分，这些部分可以重新排列在嵌套阵列稀疏子阵列的两侧。具体来说，对于任意给定的阵元数量，我们推导出了物理传感器位置和虚拟传感器位置的四个闭式表达式。与具有相同阵元数量的（超级）嵌套阵列相比，新形成的增广嵌套阵列拥有更高的自由度容量和更小的互耦。最后，数值仿真结果验证了所提出阵列的有效性。

索引术语——增广嵌套阵列，自由度，互耦，DOA估计，稀疏线性阵列。

I. 引言

阵列信号处理在许多应用中扮演着至关重要的角色，例如雷达[1]，通信[2]和导航[3]。传统上，研究人员主要关注均匀线性阵列（ULAs），其中相邻传感器之间的阵元间距小于$\lambda /2$以避免空间混叠。众所周知，阵列孔径大小在基于阵列的系统中起着基础性作用。对于此类ULA，孔径的增加通常需要增加天线阵元的数量，从而导致更高的硬件成本和计算复杂性。为了获得最大的空间分辨率/自由度（DOF）和最小的互耦，非均匀线性阵列（NLA）比ULA吸引了更多的关注，这可以追溯到最小冗余阵列（MRAs）[4]或最小最小孔洞阵列（MHAs）[5]。许多重要的优点在文献[6]–[8]中通过直接或间接形成增广协方差矩阵得到了验证。通过利用增广协方差矩阵，这些非均匀阵列可以成功地避免空间混叠，并能够探测到比传感器数量更多的信源。

最近，嵌套阵列[9]和互质阵列[10]的引入和分析重新激发了人们对此类非均匀线性阵列（NLA）几何结构的兴趣。互质/嵌套阵列由两个具有不同阵元间距的均匀线性子阵列组成，可以生成一组均匀分布的虚拟差分协同阵列。因此，许多阵列信号处理算法，例如波束形成[9], [10]、波达方向（DOA）估计[9]–[12]和稀疏DOA恢复[13]–[15]，都可以基于虚拟阵列（而非物理阵列）来执行。由于差分协同阵列可以将阵列孔径和自由度（DOF）从$O(N)$增加到$O(N^2)$，因此不仅可以获得更好的空间分辨率和更高的自由度容量，而且还能成功避免空间混叠。此外，通过结合多频率操作[16], [17]或联合时频变换[18]，这类NLA的最大自由度可以得到适度增加。遵循这些协同阵列的概念，一些更有效的NLA几何结构被进一步开发出来，例如超级嵌套阵列（SNA）[19]–[21]、嵌套最小冗余阵列（NMRA）[22]以及一些优化和广义的互质阵列[23]–[25]。

这些NLA几何结构仍然存在一些局限性。从没有闭式表达式的MRA/MHA/NMRA开始，只有一些结果是通过穷举搜索[26]列出的。（广义）互质阵列的协同阵列中存在孔洞（见图1(a)）。嵌套阵列包含一个密集的子均匀线性阵列（sub-ULA），导致了高的互耦。相对而言，SNA获得了最佳性能。它保留了嵌套阵列的所有优良特性，同时通过重新分布密集子ULA的阵元来降低互耦。

理论上，对于任何具有无孔洞差分协同阵列的 $M$ 元NLA，其冗余度 $R$ 和单边均匀自由度 $L_u$ 将满足以下条件：$R+L_u=M(M-1)/2$，其中$R={\sum }_{\ell =1}^{L_u}(w(\ell )-1)$，$w(\ell )$表示间距为 $\ell \lambda /2$ 的传感器对的数量。因此，互耦比主要由重复传感器对的数量（即$R$）及其分布决定。根据[20], [21]，嵌套阵列和SNA拥有相同的自由度 $L_u$ 和相同的冗余度 $R$。对于SNA而言，其较低的互耦比很大程度上是由于对$R$个重复传感器对的分布进行了优化（即减少了小间距传感器对的数量）。

在本文中，我们关注一种双赢策略：单边均匀自由度$L_u$的增加可以带来冗余度$R$的减少，这可能会降低互耦。在最佳情况下，如果 $L_u=M(M-1)/2$，冗余度 $R$ 将变为0。基于此策略，我们提出了一种增广嵌套阵列（augmented nested array，ANA）的概念，通过将嵌套阵列的密集ULA（均匀线性阵列）拆分成若干个左/右子阵列，这些子阵列可以重新排列在嵌套阵列的稀疏ULA的两侧。此外，我们建立了一些充分条件来保证相应差分协同阵列的无孔洞特性。结果，所形成的ANA具有以下优点：

• i) ANA具有闭式解的传感器位置和无孔洞的协同阵列（hole-free co-arrays）。
• ii) 在相同阵元数下，ANA比（generalized，广义）互质阵列和（super，超级）嵌套阵列具有更高的 uniform DOF capacity容量。
• iii) ANA比嵌套阵列和前几阶的超级嵌套阵列具有更低的互耦。

II. REVIEW OF DIFFERENCE CO-ARRAY SIGNAL MODEL

我们首先介绍一些集合运算，以便在下文中描述物理阵列的几何形状和相应的虚拟阵列配置。

定义1：对于两个给定的整数集合 $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$，可以定义以下运算：

• 交集: A∩B={a∣∀a∈Aand a∈B}A \cap B = \{a|∀a \in A \text{ and } a \in B\}A∩B={a∣∀a∈A and a∈B}
• 并集: A∪B={a∣∀a∈Aor a∈B}A \cup B = \{a|∀a \in A \text{ or } a \in B\}A∪B={a∣∀a∈A or a∈B}
• 和集: A+B={a+b∣∀a∈A,∀b∈B}A + B = \{a + b|∀a \in A, ∀b \in B\}A+B={a+b∣∀a∈A,∀b∈B}
• 差集: A−B={a−b∣∀a∈A,∀b∈B}A - B = \{a - b|∀a \in A, ∀b \in B\}A−B={a−b∣∀a∈A,∀b∈B}
• 平移集: λ+A={λ+a∣∀a∈A,λ∈Z}λ + A = \{λ + a|∀a \in A, λ \in Z\}λ+A={λ+a∣∀a∈A,λ∈Z}
• 伸缩集: λA={λa∣∀a∈A,λ∈Z}λA = \{λa|∀a \in A, λ \in Z\}λA={λa∣∀a∈A,λ∈Z}

A. Difference Co-Array Signal Model

考虑一个非均匀线性阵列（NLA），其在位置A={a1,a2,...,aM}1\mathbb{A} = \{a_1, a_2, ..., a_M\}^1A={a1​,a2​,...,aM​}1处有$M$个传感器，并且有$D$个窄带远场不相关信源从方向${\theta }_i$入射到阵列上，其功率为${\delta }_i^2$，其中$i=1,2,3,...,D$。因此，第$n$个接收快照可以表示为

$$x(n)=As(n)+w(n),\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中$s(n)$和$w(n)$分别表示输入信源向量和噪声向量；$A$表示一个$M\times D$维的阵列流形矩阵，其第$(l,i)$个元素$A_{l,i}$为$e^{-j\pi a_l\sin ({\theta }_i)}$，其中$l=1,2,...,M$；$i=1,2,...,D$。然后通过采集$N$个快照，可以估计出协方差矩阵为

Rxx=E{xxH}=ARssAH+σn2IM≈1N∑n=1Nx(n)x(n)H,(2)R_{xx} = E\{xx^H\} = AR_{ss}A^H + \sigma_n^2I_M \approx \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x(n)x(n)^H, \tag{2} Rxx​=E{xxH}=ARss​AH+σn2​IM​≈N1​n=1∑N​x(n)x(n)H,(2)

其中Rss=E{ssH}=diag{p}R_{ss} = E\{ss^H\} = diag\{p\}Rss​=E{ssH}=diag{p}, $p=[{\delta }_1^2,{\delta }_2^2,...,{\delta }_D^2{]}^T$，${\sigma }_n^2$表示噪声功率。根据[9], [10], [20]，$R_{xx}$可以被向量化为一个长向量

$$z=vec(R_{xx})=(A^{\ast }\odot A)p+{\sigma }_n^{2}vec(I_M)\in {\mathbb{C}}^{M^2\times 1},\text{\hspace{1em}(3)}$$

¹本文中所有的阵元位置都以半个最小波长为单位。

其中 iM=vec{IM}i_M = vec\{I_M\}iM​=vec{IM​}。在上述向量化模型中，项 $\left({\mathbf{A}}^{\ast }\odot \mathbf{A}\right)$ 的行为类似于一个虚拟阵列的流形矩阵（the manifold matrix of a virtual array），该虚拟阵列的传感器位置由物理阵元位置的差分值给出（即$\mathbb{A}-\mathbb{A}$）。因此，这个虚拟阵列被称为差分协同阵列（difference co-array，DCA）。根据[9], [15]，可以从z中选择并平滑所需的行，以构建来自虚拟ULA（均匀线性阵列）的单快照数据，其传感器位于位置 $\mathbb{U}=[-L_u,L_u]$。因此，单快照模型可以表示为

$${\mathbf{z}}_1=\mathbf{Jz}={\mathbf{A}}_1\mathbf{p}+{\sigma }_n^2{\mathbf{e}}_{L_u}\in {\mathbb{C}}^{\left(2L_u+1\right)\times 1}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中$e_{L_u}=[0_{1\times L_u}10_{1\times L_u}{]}^T$；$A_1$表示虚拟ULA的一个$(2L_u+1)\times D$维流形矩阵；$\mathbf{J}$ 表示一个$(2L_u+1)\times M^2$ 的选择矩阵。在其每一行中只有一个非零元素，其位置对应于从 $M^2$ 个虚拟传感器中选出的虚拟阵元的索引。许多阵列信号处理算法可以基于虚拟信号(4)而不是(1)来执行。由于自由度（DOF）的增加，虚拟阵列信号模型可以分辨多达 $O(M^2)$ 个不相关信源。

B. Mutual Coupling

公式(1)中的阵列信号模型是在不考虑物理传感器之间互耦的情况下建立的。在实践中，应考虑小间距传感器对之间的耦合效应。因此，通过引入一个耦合矩阵C，公式(1)可以修改为

$$\mathbf{x}(n)=\mathbf{CAs}(n)+\mathbf{w}(n).\text{\hspace{1em}(5)}$$

矩阵 $\mathbf{C}$ 的元素取决于多种因素，如工作频率、天线类型、相控阵的工作模式、传感器之间的距离、阻抗等。$\mathbf{C}$ 的闭式表达式很复杂。在本文中，由于我们只关注线性阵列的几何结构，根据[20], [27]–[29]，C可以由一个 a B-banded mode 来近似

$${\mathbf{C}}_{i,j}=\{\begin{array}{cl}{c}_{|a_i-a_j|}& \left|a_i-a_j\right|\le B\\ 0& \left|a_i-a_j\right|>B\end{array},\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 ${\mathbf{C}}_{i,j}$ 的大小与传感器间距成反比，并满足$1=c_0>|c_1|>|c_2|>\cdots >|c_B|>|c_{B+1}|=0$。例如，文献[20]中使用的耦合系数如下：$c_0=1,c_1=0.3e^{j\pi /3}$以及$c_l=c_1{e}^{-j(l-1)\pi /8}/l,2\le l\le B$。此外，对于一个给定的NLA，总互耦可以通过耦合泄漏[20] $L(\mathbf{M})$ 来评估，即

$$L(M)=\frac{\Vert \mathbf{C}-\tilde{\mathbf{C}}{\Vert }_F}{\Vert \tilde{C}{\Vert }_F},\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中 ${\tilde{\mathbf{C}}}_{i,j}=\{\begin{array}{cc}0& i\ne j\\ {\mathbf{C}}_{i,j}& i=j\end{array}$；$\Vert \mathbf{C}-\tilde{\mathbf{C}}{\Vert }_F$是所有非对角线分量的能量，它表征了互耦的量。因此 $L(\mathbf{M})$ 是这两个分量之间的能量比，在本文中也称为互耦比。从概念上讲，$L(\mathbf{M})$ 越小，互耦就越小。

C. 具有无孔洞协同阵列的NLA的性质

在介绍差分协同阵列模型之后，我们从建立一个用于评估NLA性能的定义开始，重点关注物理NLA的构建以及相应虚拟阵列的性质。

定义2：对于一个阵列$\mathbb{A}$，令$\mathbb{D}$表示其对应的DCA；$\mathbb{U}$ 表示具有最大孔径的中心ULA；$\mathbb{M}(\ell )$表示在延迟 $\ell$ 处对协同阵列支撑有贡献的所有对。
A={a1,a2,…,aM}D={ai−aj∣i,j∈[1,M]}U={−Lu,Lu}⊆DM(ℓ)={(ai,aj)∣ai−aj=ℓ;i,j∈[1,M]}(8)\begin{aligned} \mathbb{A} &= \{a_1, a_2, \dots, a_M\} \\ \mathbb{D} &= \{a_i - a_j | i, j \in [1, M]\} \\ \mathbb{U} &= \{-L_u, L_u\} \subseteq \mathbb{D} \\ \mathbb M(\ell) &= \{(a_i, a_j) | a_i - a_j = \ell; i, j \in [1, M]\} \end{aligned} \tag{8} ADUM(ℓ)​={a1​,a2​,…,aM​}={ai​−aj​∣i,j∈[1,M]}={−Lu​,Lu​}⊆D={(ai​,aj​)∣ai​−aj​=ℓ;i,j∈[1,M]}​(8)

那么，$\mathbb{D}$, $\mathbb{U}$ 和 $\mathbb{M}(\ell )$ 的基数分别被称为自由度DOF、均匀自由度（uDOF）和权重函数（表示为$d(M),u(M)$ 和 $w(\ell )$）。此外，$L_u$被称为单边均匀自由度（one-side uniform DOF）。

为了空间采样的目的，完美的NLA应满足以下标准：

1. 对于任意给定的阵元数M，具有闭式解的传感器位置，即 A=F(M)={a1,a2,…,aM}\mathbb{A} = F(M) = \{a_1, a_2, \dots, a_M\}A=F(M)={a1​,a2​,…,aM​}。
2. 最大化均匀自由度uDOF $u(M)$，其值至少不小于嵌套阵列的uDOF。
3. 最小化小间距的权重函数$w(\ell )$，即$w(1),w(2)$ 和 $w(3)$。

在提出这三个标准之后，我们首先将分析此类具有无孔洞协同阵列的NLA的 $L_u$ 和 $R$ 的边界，这可以为设计最优NLA提供理论基础。

定理1：考虑一个具有无孔洞协同阵列的 $M$ 元NLA。假设其单边均匀自由度和冗余度分别表示为$L_u$和$R$，其中 $R={\sum }_{\ell =1}^{L_u}(w(\ell )-1)$ 且 $L_u+R=M(M-1)/2$。那么，$L_u$和$R$的理论边界可以表示为
$$\begin{array}{rl}{L}_u& \le M^2/(2+4/3\pi )\\ R& \ge M^2/(3\pi +2)\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

定理1的证明 在附录A-A中给出。由于嵌套阵列是一种著名的具有无孔洞协同阵列的NLA，我们将从数论的角度对其性质进行深入分析。所提出的ANA几何结构的灵感便来源于此。

D. Properties of Nested Array

嵌套阵列（The nested array）由一个由 $N_1+1$ 个传感器的密集子ULA（均匀线性阵列）和一个有 $N_2$ 个传感器的稀疏子ULA组成，其中密集子ULA可以生成从1到 $N_1$ 的所有连续延迟，而稀疏ULA可以生成 $(N_1+1)$ 倍的延迟，如图2所示。这种几何结构可以用一个有趣的数论来解释：任何非负整数$v$都可以被 $(N_1+1)$ 整除，并表示为：$v=v_1(N_1+1)+v_2$,

²由于具有少量阵元的最优NLA已经通过计算机搜索找到。因此，在本文中，我们主要关注阵元数不小于10的情况。

其中 $v_1$ 是非负商，$v_1\in [1,N_2]$；$v_2$ 是非负余数，$v_2\in [0,N_1]$。实际上，嵌套阵列的两个子阵列（一个密集，一个稀疏）分别对应于 $v_1$ 和 $v_2$。密集子阵列由位于位置 ${\mathbb{A}}_{s_2}=(N_1+1)-\ell$（其中 $\ell \in [0,N_1]$）的 $(N_1+1)$ 个传感器组成。稀疏子阵列由位于位置 ${\mathbb{A}}_{s_1}=(N_1+1)\ell$（其中 $\ell \in [1,N_2]$）的$N_2$个传感器组成。基于以上描述和解释，嵌套阵列可以表示为

$${\mathbb{A}}_{\text{Nested}}(M)={\mathbb{A}}_{s_1}\cup {\mathbb{A}}_{s_2},\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $M$ 表示物理传感器的数量，两个子阵列${\mathbb{A}}_{s1}$和${\mathbb{A}}_{s2}$由下式给出

$$\{\begin{array}{ll}{\mathbb{A}}_{s_1}=(N_1+1)\ell ,& \ell \in V_1(N_2)=[1,N_2]\\ {\mathbb{A}}_{s_2}=(N_1+1)-\ell ,& \ell \in V_2(N_1)=[0,N_1]\end{array}.\text{\hspace{1em}(11)}$$

[23]中的CACIS-嵌套阵列与[9]中的嵌套阵列略有不同。其密集子ULA的特征是$V_2(N_1)=[0,N_1+1]$。实际上，任何在(10)中定义的阵列只有当$[0,N_1]$是 ${\mathbb{V}}_2(N_1)$ 的子集时，才能保持嵌套阵列的基本特性（即无孔洞）。由于在(10)中定义的稀疏子阵列的阵元间距为$(N_1+1)$，我们称此类阵列为基-$(N_1+1)$嵌套阵列。

性质1：在(10)和(11)中定义的嵌套阵列${\mathbb{A}}_{\text{Nested}}(M)$的协同阵列是无孔洞的。此外，小间距传感器对的数量（the number of sensor pairs with small separation）由包含$N_1+1$个传感器的密集子ULA决定。
$$\{\begin{array}{ll}{L}_u=(N_1+1)N_2-1& \\ w(\ell )={\psi }_{N_1+1}(\ell )=N_1+1-\ell ,& \text{if }1\le \ell \le N_1\end{array}.\text{\hspace{1em}(12)}$$

性质1的证明在 附录A-B 中给出。由于密集子阵列的影响，通常嵌套阵列具有很高的互耦比。对于超级嵌套阵列，密集子阵列被分成许多部分，其中一些部分被插入到稀疏子阵列中，如图1$(c)$和(d)所示。

在本文中，提出了一种称为增广嵌套阵列（augmented nested array，ANA）的新几何结构。与超级嵌套阵列不同，密集子阵列被分裂成左/右子阵列。密集子阵列的一些传感器将被重新排列在稀疏子阵列的两侧（而不是插入到稀疏子阵列中），这可以同时带来自由度（DOF）容量的增加和互耦的降低。

III. AUGMENTED NESTED ARRAYS

A.Two Level Augmented Nested Arrays

如前所述，嵌套阵列可以由$v=(N_1+1){\ell }_1+{\ell }_2$来表征，它也可以被重写为

$$\begin{array}{rl}v& =((N_1+1)N_2+{\ell }_2)-(N_1+1)(N_2-{\ell }_1)\\ & =((N_1+1)N_2+{\ell }_2)-(N_1+1){\ell }_3,\text{其中 }{\ell }_3=N_2-{\ell }_1\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

这意味着位于左侧位置$(N_1+1)-{\ell }_2$的传感器可以被移动到右侧位置$(N_1+1)N_2+{\ell }_2$。受此概念启发，可以优化嵌套阵列的几何结构；非负余数$V_2$可以被分裂成两个子集：$V_{21}$和$V_{22}$。由$V_{21}$定义的传感器可以列在稀疏子阵列的左侧，而由$V_{22}$定义的传感器被移动到右侧。因此，这种两级ANA可以表示为

$${\mathbb{A}}_{\text{ANAI}}(M)={\mathbb{L}}_1\cup {\mathbb{M}}_1\cup {\mathbb{R}}_1,\text{\hspace{1em}(14)}$$

其中${\mathbb{L}}_1$, ${\mathbb{M}}_1$和${\mathbb{R}}_1$分别表示左、中、右子阵列，可以表示为

$$\{\begin{array}{ll}{\mathbb{L}}_1=-(N_1+1)-\ell ,& \ell \in V_{21}\\ {\mathbb{M}}_1=(N_1+1)\ell ,& \ell \in V_1(N_2)\\ {\mathbb{R}}_1=(N_1+1)N_2+\ell ,& \ell \in V_{22}\end{array}.\text{\hspace{1em}(15)}$$

需要注意的是，默认情况下，$0\in V_{21}$且$0\notin V_{22}$。

定理2 (几乎无孔洞)：考虑在(14)和(15)中定义的两级ANA ${\mathbb{A}}_{\text{ANAI}}(M)$。如果$V_{21}\cup V_{22}=V_2(N_1)$，那么该ANA的单边均匀自由度不小于$((N_1+1)N_2-1)$。此外，具有小间距的传感器对仅存在于左、右子NLA中，并且对于任何小的延迟$\ell$，$w(\ell )$不大于$(N_1+1-\ell )$。

$$\{\begin{array}{ll}{L}_u\ge (N_1+1)N_2-1& \\ w(\ell )=w_L(\ell )+w_R(\ell )\le N_1+1-\ell ,& \text{if }1\le \ell \le N_1\end{array}.\text{\hspace{1em}(16)}$$

定理2的证明在附录A-C中给出。根据该定理，与具有相同阵元数的父嵌套阵列相比，ANA可以同时增加（或至少保持）单边均匀自由度并减少互耦。其协同阵列可能在延迟$\pm \ell$处有孔洞，但幸运的是$\ell >(N_1+1)N_2-1$。因此，这种协同阵列是几乎无孔洞的。例如，考虑图3中的父嵌套阵列和ANA，嵌套阵列的协同阵列

B. ANAI-1

C. ANAI-2

IV. NUMERICAL EXPERIMENTS

A. 自由度

在第一个实验中，我们评估了五种具有相同阵元数$M$的嵌套阵列的增强自由度（DOF）。因此，定义自由度比率为

$$\gamma (M)=M^2/L_u(M),\text{\hspace{1em}(34)}$$

其中$M$是物理阵元数，$L_u(M)$是(8)中 $\mathbb{U}$ 的最大单边孔径。$\gamma (M)$ 越小，自由度容量就越高。图9展示了当$M$从11变化到100时对应的$\gamma (M)$。四种增广嵌套阵列（ANA）比（超级）嵌套阵列拥有更高的自由度。特别是，当 $M$ 很大时，两种四级ANA比其他阵列实现了显著的性能提升。根据定理1，$\gamma (M)$ 的理论最大下界约为2.4。四级ANA $\gamma (M)$ 值接近3.0。

B. 互耦

在第二个实验中，我们评估了五种嵌套阵列的互耦。图10展示了当$M$从11变化到100时，公式(7)中对应的$L(M)$。嵌套阵列和ANAI-1具有较高的$L(M)$值，这意味着它们遭受着严重的互耦效应。相对而言，ANAII-1可以适度地减少互耦。然后，超级嵌套阵列、ANAI-2和ANAII-2则具有非常低的$L(M)$值。总的来说，ANAII-2能够将互耦比保持在与4阶超级嵌套阵列相同的水平。毫无疑问，通过增加超级嵌套阵列的阶数，互耦可以被进一步降低，结果是其权重函数可以低于ANAII-2。因此，ANA（增广嵌套阵列）的重点在于自由度与互耦之间的综合平衡的重要性。

C. 使用ESPRIT算法进行DOA估计

在第三个实验中，基于互耦模型(5)，我们展示了使用空间平滑[31]和ESPRIT算法，用于由14个传感器组成的九种非均匀线性阵列（NLA）

（注：AMRA={0,1,2,8,15,16,26,36,46,56,59,63,65,68}\mathbb{A}_{\text{MRA}} = \{0, 1, 2, 8, 15, 16, 26, 36, 46, 56, 59, 63, 65, 68\}AMRA​={0,1,2,8,15,16,26,36,46,56,59,63,65,68}, $w(1)=3$, $w(2)=2$, $w(3)=2$）。

对于10种NLA的$\gamma (14)$和$L(14)$值列于表II中。使用信噪比SNR=15 dB的2000个快照来估计协方差矩阵。21个不相关的窄带信源在$-30^{\circ }$和$30^{\circ }$之间均匀分布，如垂直网格线所示。在所有后续仿真中，信源数量均设置为其真实值。图11列出了所有估计的波达方向（DOA）。由于其有限的自由度（DOF）容量，使用互质阵列的估计结果中存在明显的虚假DOA。 （CADiS）嵌套阵列和ANAI-1拥有更高的自由度，因此，它们的性能得到了适度的改善。结果中仍存在一些带有小误差的虚假DOA和漏检的DOA。MRA, SNA, ANAI-2和ANAII-2拥有增加的自由度和降低的互耦，因此，这四种NLA可以清晰且正确地检测到所有信源。

$L(14)$ 是互耦比，$\gamma (14)$ 是自由度比例，这两个值都是越低越好。