【高等数学】第三章 微分中值定理与导数的应用——第七节 曲率

上一节：【高等数学】第三章 微分中值定理与导数的应用——第六节 函数图形的描绘
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1. 弧微分

• 弧
  设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内具有连续导数.
  在曲线 $y=f(x)$ 上取固定点 $M_0(x_0,y_0)$ 作为度量弧长的基点，并规定依 $x$ 增大的方向作为曲线的正向.
  对曲线上任一点 $M(x,y)$，规定有向弧段 $\widehat{M_{0}M}$ 的值 $s$（简称为弧 $s$）如下：
  $s$ 的绝对值等于这弧段的长度，
  当有向弧段 $\widehat{M_{0}M}$ 的方向与曲线的正向一致时 $s>0$，相反时 $s<0$.
  显然，弧 $s$ 与 $x$ 存在函数关系：$s=s(x)$，而且 $s(x)$ 是 $x$ 的单调增加函数.
• 弧微分的推导（以直代曲）
  $\Delta s=\widehat{M_0{M}^{\prime }}-\widehat{M_{0}M}=\widehat{M{M}^{\prime }}$
  $\begin{array}{rl}{\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)}^2& ={\left(\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{\Delta x}\right)}^2={\left(\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{|M{M}^{\prime }{|}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & ={\left(\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & ={\left(\frac{\widehat{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\left[1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2\right],\end{array}$
  $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left|\widehat{M{M}^{\prime }}\right|}{|M{M}^{\prime }|}\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2}=\sqrt{1+(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}{)}^2}$
  $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$
  $\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$

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