傅里叶方法求解正方形偏微分方程

题目

问题10. 使用傅里叶方法在正方形中找到以下问题的所有解：

$$4u_{xx}-8u_{yy}=0,0<x<\pi ,0<y<\pi ,$$
$$u_y{|}_{y=0}=u_y{|}_{y=\pi }=0,$$
$$u_x{|}_{x=0}=u_x{|}_{x=\pi }=0.$$

问题解决

问题分析

• 偏微分方程：$$4u_{xx}-8u_{yy}=0$$，可简化为 $$u_{xx}-2u_{yy}=0$$。
• 边界条件：
  • 在 $$y=0$$ 和 $$y=\pi$$ 处，$$u_y=0$$（关于 $$y$$ 的齐次 Neumann 边界条件）。
  • 在 $$x=0$$ 和 $$x=\pi$$ 处，$$u_x=0$$（关于 $$x$$ 的齐次 Neumann 边界条件）。
• 区域：正方形 $$0<x<\pi$$，$$0<y<\pi$$。
• 方法：使用傅里叶方法（分离变量法）。

求解过程

使用分离变量法，假设解的形式为 $$u(x,y)=X(x)Y(y)$$。代入方程和边界条件。

1. 分离变量：
   代入方程 $$4u_{xx}-8u_{yy}=0$$：
   $$4X^{\prime \prime }Y-8X{Y}^{\prime \prime }=0$$
   整理得：
   $$\frac{X^{\prime \prime }}{X}=2\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}$$
   设常数为 $$-\lambda$$（为方便后续特征值问题）：
   $$\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda ,2\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}=-\lambda$$
   即：
   $$X^{\prime \prime }+\lambda X=0,Y^{\prime \prime }+\frac{\lambda }{2}Y=0$$

2. 边界条件分离：

   • $$u_x=X^{\prime }Y$$，在 $$x=0$$ 和 $$x=\pi$$ 处 $$u_x=0$$，且 $$Y\not\equiv 0$$，所以：
     $$X^{\prime }(0)=0,X^{\prime }(\pi )=0$$
   • $$u_y=X{Y}^{\prime }$$，在 $$y=0$$ 和 $$y=\pi$$ 处 $$u_y=0$$，且 $$X\not\equiv 0$$，所以：
     $$Y^{\prime }(0)=0,Y^{\prime }(\pi )=0$$

3. 求解 $$X(x)$$ 的特征值问题：
   方程：$$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$$，边界条件：$$X^{\prime }(0)=0$$，$$X^{\prime }(\pi )=0$$。
   这是一个齐次 Neumann 边界条件的 Sturm-Liouville 问题。

   • 若 $$\lambda =0$$：
     $$X^{\prime \prime }=0$$，解为 $$X=ax+b$$。
     $$X^{\prime }=a$$，代入边界条件：
     $$X^{\prime }(0)=a=0$$，$$X^{\prime }(\pi )=0$$ 自动满足，所以 $$X=b$$（常数）。
     特征值 $${\lambda }_0=0$$，特征函数 $$X_0(x)=1$$（归一化）。
   • 若 $$\lambda >0$$：设 $$\lambda ={\mu }^2$$ ($$\mu >0$$)，则 $$X^{\prime \prime }+{\mu }^{2}X=0$$，解为 $$X=A\cos (\mu x)+B\sin (\mu x)$$。
     $$X^{\prime }=-A\mu \sin (\mu x)+B\mu \cos (\mu x)$$。
     代入边界条件：
     $$X^{\prime }(0)=B\mu =0$$，所以 $$B=0$$（因 $$\mu \ne 0$$)。
     则 $$X=A\cos (\mu x)$$，
     $$X^{\prime }(\pi )=-A\mu \sin (\mu \pi )=0$$。
     非平凡解要求 $$\sin (\mu \pi )=0$$，即 $$\mu \pi =n\pi$$ ($$n=1,2,3,\dots$$)，所以 $$\mu =n$$，$$\lambda =n^2$$。
     特征函数 $$X_n(x)=\cos (nx)$$（$$n=1,2,3,\dots$$）。
   • 若 $$\lambda <0$$：无解（类似分析得 trivial solution）。
     综上，特征值 $${\lambda }_n=n^2$$ ($$n=0,1,2,\dots$$)，特征函数 $$X_n(x)=\cos (nx)$$。

4. 求解 $$Y(y)$$ 的特征值问题：
   方程：$$Y^{\prime \prime }+\frac{\lambda }{2}Y=0$$，边界条件：$$Y^{\prime }(0)=0$$，$$Y^{\prime }(\pi )=0$$。
   代入 $$\lambda ={\lambda }_n=n^2$$：
   $$Y^{\prime \prime }+\frac{n^2}{2}Y=0$$

   • 若 $$n=0$$：$${\lambda }_0=0$$，方程 $$Y^{\prime \prime }=0$$，解为 $$Y=cy+d$$。
     $$Y^{\prime }=c$$，代入边界条件：
     $$Y^{\prime }(0)=c=0$$，$$Y^{\prime }(\pi )=0$$ 自动满足，所以 $$Y=d$$（常数）。
     特征函数 $$Y_0(y)=1$$。
   • 若 $$n\ge 1$$：方程 $$Y^{\prime \prime }+\frac{n^2}{2}Y=0$$，解为 $$Y=C\cos (\omega y)+D\sin (\omega y)$$，其中 $$\omega =\frac{n}{\sqrt{2}}$$。
     $$Y^{\prime }=-C\omega \sin (\omega y)+D\omega \cos (\omega y)$$。
     代入边界条件：
     $$Y^{\prime }(0)=D\omega =0$$，所以 $$D=0$$（因 $$\omega \ne 0$$)。
     则 $$Y=C\cos (\omega y)=C\cos \left(\frac{n}{\sqrt{2}}y\right)$$，
     $$Y^{\prime }(\pi )=-C\omega \sin (\omega \pi )=-C\frac{n}{\sqrt{2}}\sin \left(\frac{n\pi }{\sqrt{2}}\right)=0$$。
     非平凡解要求 $$\sin \left(\frac{n\pi }{\sqrt{2}}\right)=0$$，即 $$\frac{n\pi }{\sqrt{2}}=k\pi$$ ($$k$$ 整数)，所以 $$n=k\sqrt{2}$$。
     但 $$n$$ 和 $$k$$ 是整数，$$\sqrt{2}$$ 是无理数，唯一解为 $$k=0$$（即 $$n=0$$)，已考虑。
     因此，对于 $$n\ge 1$$，无解。

5. 构造解：
   仅当 $$n=0$$ 时，有非平凡解：

   • $$X_0(x)=1$$，$$Y_0(y)=1$$，所以 $$u_0(x,y)=C\cdot 1\cdot 1=C$$（$$C$$ 为常数）。
     对于 $$n\ge 1$$，无解。

6. 验证常数解：
   设 $$u(x,y)=C$$（常数）。

   • 方程：$$u_{xx}=0$$，$$u_{yy}=0$$，所以 $$4\cdot 0-8\cdot 0=0$$，满足。
   • 边界条件：$$u_y=0$$，$$u_x=0$$，在边界上恒为零，满足。

结论

所有解为常数函数：
$$u(x,y)=C,\text{其中 }C\text{ 为任意常数}.$$
即，解与 $$x$$ 和 $$y$$ 无关，且为任意常数。