（思维）洛谷 P3081 USACO13MAR Hill Walk 题解

题意

有 $N(1\le N\le 10^5)$座小山，每座山所占的区域用直线 $(x1,y1)$ 到 $(x2,y2)$ 来表示（$x1<x2$ 并且 $y1<y2$）。也就是说这些山用笛卡尔坐标系里的线段来表示，这些用于表示小山的线段都没有任何交点，第一座山的一端位于 $(x1,y1)=(0,0)$。

贝西从 $(0,0)$ 开始在第一座山上漫步，一旦贝西到了一座山，她会一直走到该山的终点，这时，她会从边缘处起跳，如果她降落到另一座山上，她会继续在新的山上漫步。贝西起跳后沿 $y$ 轴方向下落，如果贝西不能降落到一座山上，她会一直下落，直到到达 $y$ 轴的负无穷大位置（$y=-\infty$）。

每座用线段表示的山 $(x1,y1)\to (x2,y2)$ 包含 $(x1,y1)$ 这个点，但不包含 $(x2,y2)$，请计算出贝西总共在多少座山上漫步了。

$x1,y1,x2,y2\le 10^9$。

思路

因为线段没有交点，所以漫步路径是唯一的。走完一座山之后，将会下到哪座山是固定的。

有线段想用李超线段树。但是走到一座山的终点的时候，无法确定具体哪一座山峰：可能头顶有一座，哪怕没有李超树也只能返回终点的 $y$。删线段？不会捏。

本质还是模拟漫步过程。我们记下每座山的起点终点信息，每到一座山的起点就把山加进 set 里（set 支持 $O(\log n)$查询和删除）。记录当前登山编号 $now$，初始时 $now=1$。

我们每走到山 $now$ 的终点，就要下山。走完一座山之后，将会下到哪座山是固定的，即每座山的“前继”是固定的，我们想要 set 的指针前移就能走到对应的山。

首先，若遍历到一个终点不是 $now$ 的终点，就应该把当前点所在山删掉，以免影响下山。其次，我们想要找到一个排序规则，使 set 按照这个顺序将山峰从高到低排好序。

排序规则：比较 $a,b$ 的上下关系，可以借助二者终点连线 $c$ 来比较，如下图已清晰说明。

• $a.xb<b.xb$ 时：

  1. 当 $k_b<k_c$ 时，$a<b$（如 $a1,b,c1$）；
  2. 反之 $k_c<k_b$ 时，$b<a$，$a$ 可以落到 $b$（如 $a2,b,c2$）。

  不用 $a,c$ 比较的反例，如 $a{2}^{\prime }$ 所示。

• $a.xb>b.xb$ 时：

  1. 当 $k_c<k_a$ 时，$a<b$（如 $a1,b,c1$）；
  2. 反之 $k_a<k_c$ 时，$b<a$，$b$ 可以落到 $a$（如 $a2,b,c2$）。

  不用 $a,b$ 比较的反例，如 $b^{\prime }$ 所示。

dd slope(dd xa,dd ya,dd xb,dd yb)
{return (ya-yb)/(xa-xb);
}
bool operator < (hill a,hill b)//a<b,b在a上 
{dd ka=slope(a.xa,a.ya,a.xb,a.yb);dd kb=slope(b.xa,b.ya,b.xb,b.yb);dd kc=slope(a.xb,a.yb,b.xb,b.yb);if(a.xb<b.xb)return kb<kc;return kc<ka;
}

在 set 上获取直接前继，可以用指针移动。

储存起点和终点，记得开 $2$ 倍空间。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define dd double
const ll N=2e5+9;
ll n;
struct hill
{dd xa,ya,xb,yb;ll id;
}b[N];
dd slope(dd xa,dd ya,dd xb,dd yb)
{return (ya-yb)/(xa-xb);
}
bool operator < (hill a,hill b)//a<b,b在a上 
{dd ka=slope(a.xa,a.ya,a.xb,a.yb);dd kb=slope(b.xa,b.ya,b.xb,b.yb);dd kc=slope(a.xb,a.yb,b.xb,b.yb);if(a.xb<b.xb)return kb<kc;return kc<ka;
}
set<hill>S;
struct point
{dd x,y;ll id;
}P[N<<1];
bool cmp(point x,point y)
{if(x.x!=y.x)return x.x<y.x;return x.y<y.y;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){dd xa,ya,xb,yb;scanf("%lf%lf%lf%lf",&xa,&ya,&xb,&yb);b[i]=(hill){xa,ya,xb,yb,i};P[i*2-1]=(point){xa,ya,i};P[i*2]=(point){xb,yb,i};}S.insert(b[1]);sort(P+1,P+2*n+1,cmp);ll ans=1,now=1;for(int i=2;i<=n*2;i++){ll id=P[i].id;if(b[id].xa==P[i].x)//起点{S.insert(b[id]);continue;}if(now!=id)S.erase(b[id]);//没走到遍历的这座山else {set<hill>::iterator B=S.find(b[id]);//走到终点了 if(B==S.begin())break;//无山可走B--,now=B->id;//下山 ans++;}}printf("%lld",ans);return 0;
}