递推+高精度加法 P1255 数楼梯

递推+高精度加法 P1255 数楼梯

思路

• 递推计算，类似斐波拉契，但是由于数据比较大，需要高精度处理
• 斐波那契数列的规律是：每一项等于前两项之和。比如：

F(1)=1
F(2)=1
F(3)=F(1)+F(2)=2
F(4)=F(2)+F(3)=3
F(5)=F(3)+F(4)=5
…
从第10项开始，数值会爆炸式增长：

F(10)=55
F(20)=6765
F(30)=832040
F(40)=102334155
F(50)=12586269025
…
到第50项时，数值已经超过100亿！
高精度来处理才合适！

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[5005]={1},b[5005]={1},c[5005]={1},len=1;
void f(){ //斐波那契数列的高精度求和int jw=0;for(int i=0;i<len;i++){ //模拟竖式计算，进位c[i]=a[i]+b[i]+jw;jw=c[i]/10;c[i]=c[i]%10;}if(jw!=0){c[len++]=jw;}for(int i=0;i<len;i++){ //斐波那契数列的结构a[i]=b[i]; // a = b;b[i]=c[i]; // b =c; }
}
int main(){cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){   //从第二个开始f();}for(int i=len-1;i>=0;i--){ //从个位输出，需要逆序输出cout<<c[i];}return 0;
}

解释

高精度计算，为什么计算时不需要逆序相加，而是直接正序计算？

1. 数组存储方式：低位在前，高位在后
   数组 a, b, c 的每个索引 i 对应数字的 10^i 位。例如：
   a[0] 存储个位，a[1] 存储十位，依此类推。
   初始值 a[0] = 1 表示斐波那契数列的第一项是 1。
   这种存储方式与手工计算时对齐个位的逻辑一致，无需逆序。
2. 逐位相加的逻辑
   在函数 f() 中，循环 for(int i=0; i<len; i++) 从低位（个位）开始逐位相加：
   cpp
   c[i] = a[i] + b[i] + jw; // jw 是进位
   jw = c[i] / 10; // 计算新的进位
   c[i] %= 10; // 保留当前位的值
   进位 jw 会自然传递到高位，这与手工计算时“从低位到高位处理进位”的逻辑完全一致。
3. 动态扩展高位
   如果最高位相加后仍有进位（jw != 0），代码会扩展数组长度：
   cpp
   if(jw != 0) c[len++] = jw;
   这一步直接将进位添加到数组末尾（即更高位），符合数字位数增长的方向。
4. 为何不需要逆序？
   逆序存储（高位在前）：若数组索引 0 对应最高位，则需要逆序遍历数组相加，处理进位时还需反向调整，逻辑复杂。
   正序存储（低位在前）：直接按索引顺序处理，进位自然传递到高位，无需逆序操作，代码更简洁高效。
   示例演示
   以计算 F(3) = 2 为例：

初始 a = [1], b = [1]（对应数字 1 和 1）。
第一次调用 f()：
c[0] = 1 + 1 + 0 = 2，无进位。
结果 c = [2]，输出 2。
后续迭代会逐步处理更高位，但始终从低位开始。