Codeforces Round 1034 (Div. 3) G题题解记录

大致题意：给定一个正整数$m$，一个数组$a$，可以进行若干次操作：
$1：idx,x$：令$a_i:=x$；
$2：k$：查询：是否能够针对每一个$a_i$都进行如下操作：$a_i=(a_i+xk)\%m,x\ge 0$，使得得到的新的数组呈现非递减排列（不实际改变，只询问）。

解：
首先，我们需要知道，$a_i$变换的值域。看一下这个式子$(a_i+xk)\%m=a_i+xk=ym+r$。而由于$xk-ym=zd$，所以$r=a_i+zd,z\ge 0$。而$r\%d=a_i\%d$（两边同时$\%d$），所以$a_i$所有可以变化的数为一个$\%d$意义下的同余类。也就是说，$a_i$可以变化的最小的数就是$a_i\%d$。
至此可以得出$a_i$经过变化后的值域：{t+zd∣z≥0,t=ai%d,t+zd<m}\{t+zd|z\ge0,t=a_i\%d,t+zd<m\}{t+zd∣z≥0,t=ai​%d,t+zd<m}，换言之，即为：{t,t+d,t+2d,...,t+nd}(t+nd<m)\{t,t+d,t+2d,...,t+nd\}(t+nd<m){t,t+d,t+2d,...,t+nd}(t+nd<m)。
如何保证非递减呢？我们可以贪心地考虑：$a_i$取$\ge a_{i-1}$的最小的数。
小于$m$的数中，根据每次$+d$可以划分成几类。什么意思？举个例子：$d=7,m=21$。没有跳跃的时候，$a_i$可能等于$0,1,2,3,4,5,6$；跳跃一次的时候，$a_i$可能等于$7,8,9,10,...,13$。以此类推，根据跳跃次数，在跳跃次数相同的时候，如果$a_i>a_{i+1}$，那么在先前保证贪心策略下，$a_{i+1}$必须进行一次跳跃才能保证$\ge a_i$。我们初始化所有的数都是没有跳跃的情况：$a_i\%=d$。从0次跳跃开始，最多可以跳跃多少次？$0+7+7+7=21,1+7+7+7=22$。最多可以跳跃$m/d-1$次。所以，对于是否可以组成非递减序列，我们只需要判断跳跃次数$cnt$和$m/d-1$的大小即可。
现在考虑操作$1$修改：如果$a_{idx}$变成$x$，其可能会影响的只有左边和右边两个数。所以只需要判断修改前后大小关系，更新$cnt$即可。

我们预处理出所有可能作为$gcd(k,m)$的值，即$m$的因数。每次查询直接根据$cnt$的值与$mid/d-1$的大小关系来判断，更新的时候更新所有因数。

#include<bits/stdc++.h>#define endl '\n'
#define pii pair<int,int>using namespace std;const int one = 1;
const double eps = 1e-8;
const int inf = 1e18;const int mod = 1e9 + 7;int lowbit(int x) {return x & (-x);
}int qp(int a, int b, int p) {int res = 1;while (b) {if (b & 1) {res = res % p * (a % p) % p;}b >>= 1;a = a % p * (a % p) % p;}return res % p;
}vector<vector<int>> fac;void init(int n) {fac.assign(n + 1, {});for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j <= n; j += i) {fac[j].push_back(i);}}
}void solve() {int n, q;int m;cin >> n >> m >> q;vector<int> a(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];map<int, int> cnt;for (auto &it: fac[m]) {for (int i = 1; i < n; i++) {if (a[i] % it > a[i + 1] % it) cnt[it]++;}}while (q--) {int op;cin >> op;if (op == 1) {int idx, x;cin >> idx >> x;if (idx > 1) {for (auto &f: fac[m]) {if (a[idx - 1] % f > a[idx] % f) cnt[f]--;if (a[idx - 1] % f > x % f)cnt[f]++;}}if (idx < n) {for (auto &f: fac[m]) {if (a[idx] % f > a[idx + 1] % f) cnt[f]--;if (x % f > a[idx + 1] % f)cnt[f]++;}}a[idx] = x;} else {int t;cin >> t;int d = gcd(t, m);if (cnt[d] <= (m / d - 1)) cout << "YES" << endl;else cout << "NO" << endl;}}}signed main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int T = 1;init(5e5);cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}