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Eigen 几何模块深拆:Isometry3d vs Affine3d + 变换矩阵本质详解

文章目录

  • 0 写在前面
  • 1 数学背景对比
  • 2 Eigen 实现差异
  • 3 `Isometry3d` 是不是 4 × 4 矩阵?
  • 4 核心 API 速查
  • 5 实战示例
    • 5.1 SLAM 位姿链:相机点 → 世界点
    • 5.2 体素滤波:各向异性缩放(X/Y → 5 cm,Z → 10 cm)
    • 5.3 把通用 4×4 矩阵 M “正交化”为刚体变换
  • 6 性能与数值建议
  • 7 常见坑 · 排雷
  • 8 Cheat Sheet (贴工位)
  • 9 总结
  • 参考资料


目录

  • 0 写在前面
  • 1 数学背景对比
  • 2 Eigen 实现差异
  • 3 `Isometry3d` 是不是 4 × 4 矩阵?
  • 4 核心 API 速查
  • 5 实战示例
    • 5.1 SLAM 位姿链:相机点 → 世界点
    • 5.2 体素滤波:各向异性缩放(X/Y → 5 cm,Z → 10 cm)
    • 5.3 把通用 4×4 矩阵 M “正交化”为刚体变换
  • 6 性能与数值建议
  • 7 常见坑 · 排雷
  • 8 Cheat Sheet (贴工位)
  • 9 总结
  • 参考资料


0 写在前面

在 vSLAM / VIO / 机器人定位等工程实践中,90 % 的变换只是旋转 + 平移的刚体运动;只有不到 10 % 的场景(点云体素缩放、图像几何映射、CAD 变形等)才会用到带缩放或剪切的仿射变换。Eigen 针对这两类需求提供了

类别Eigen 类型数学对应
刚体变换Eigen::Isometry3dSE(3)
一般仿射Eigen::Affine3dA(3)

本文将从 数学原理 → 内部结构 → 常用 API → 实战示例 → 性能建议 → 易错排查 全方位梳理它们,并回答一个高频疑惑Isometry3d 究竟是不是 4 × 4 矩阵?


1 数学背景对比

刚体变换 SE(3)仿射变换 A(3)
定义保持点间距离不变的变换线性变换 A + 平移 t(可带缩放/剪切)
矩阵结构[Rt01]\displaystyle\begin{bmatrix}R&t\\0&1\end{bmatrix}[R0t1]R∈SO(3)R∈SO(3)RSO(3)[At01]\displaystyle\begin{bmatrix}A&t\\0&1\end{bmatrix}[A0t1]AAA 任意 3 × 3
自由度6 (3 旋转 + 3 平移)≤ 12 (9 线性 + 3 平移)
典型应用传感器外参、SLAM 位姿、TF 广播图像/点云缩放、CAD 模型变形

2 Eigen 实现差异

特性Isometry3dAffine3d
旋转部分强制正交(det = 1)任意 3 × 3
存储封装 4 × 4 矩阵(刚体特化)封装 4 × 4 矩阵
求逆只需 R⊤,−R⊤tR^\top,\,-R^\top tR,Rt通用 4 × 4 逆
内存12 double (9 R + 3 t)16 double
语义保障保证组合后仍为刚体可能引入缩放/剪切

3 Isometry3d 是不是 4 × 4 矩阵?

结论:是!
Isometry3d4 × 4 齐次刚体矩阵的封装类

  • 数学结构

    T=[Rt01],R∈SO(3)T=\begin{bmatrix}R&t\\0&1\end{bmatrix},\;R∈SO(3) T=[R0t1],RSO(3)

  • 代码验证

    Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();
    Eigen::Matrix4d  H = T.matrix();   // H 是标准 4x4
    
类型本质维度刚体约束典型用途
Matrix4d纯 4×4 矩阵4×4渲染 / 存盘
Isometry3d刚体 SE(3)4×4 (封装)SLAM / VIO
Affine3d仿射 A(3)4×4 (封装)图像/点云缩放

4 核心 API 速查

#include <Eigen/Geometry>// ── Isometry3d ───────────────────────────
Isometry3d T = Isometry3d::Identity();
T.rotate(q.toRotationMatrix());  // 写入旋转
T.pretranslate(t);               // 左乘平移
Matrix4d H = T.matrix();         // 取 4×4// 组合与逆
Isometry3d Tab  = Ta * Tb;       // 右侧先执行
Isometry3d Tinv = T.inverse();   // 快速刚体逆
Vector3d  pw    = T * pc;        // 点变换// ── Affine3d ────────────────────────────
Affine3d A = Affine3d::Identity();
A.linear() <<0.5, 0,   0,0,   0.5, 0,0,   0,   1;                 // 含缩放
A.translation() = Vector3d(1,2,3);

5 实战示例

5.1 SLAM 位姿链:相机点 → 世界点

// T_w_b :  body 坐标系 → world 坐标系   (车辆/IMU Pose)
Isometry3d T_w_b;     // T_b_c :  camera 坐标系 → body 坐标系   (相机外参)
Isometry3d T_b_c;     // p_c    :  相机坐标系下的点坐标(单位 m)
Vector3d  p_c(0.1, 0.2, 1.0);// 右乘先算:p_c 先映射到 body,再映射到 world
Vector3d  p_w = T_w_b * T_b_c * p_c;  

要点

  • 乘法写成 “外层坐标系 * 内层坐标系 * 点”
  • 代码顺序 = 实际执行的坐标系级联(最右边先计算)

5.2 体素滤波:各向异性缩放(X/Y → 5 cm,Z → 10 cm)

Affine3d voxel = Affine3d::Identity();// 设置线性部分:对 (x,y,z) 轴分别乘以 0.05, 0.05, 0.10
voxel.linear() <<0.05, 0,    0,0,    0.05, 0,0,    0,    0.10;// 若还需平移,可再设置 voxel.translation()// 直接对点或点云做缩放
point = voxel * point;

要点

  • Affine3d,因为含 缩放 ⇒ 非刚体
  • .linear() 修改 3 × 3 线性块,.translation() 负责平移

5.3 把通用 4×4 矩阵 M “正交化”为刚体变换

// ① 读进来时先用 Affine3d 保存,保留所有信息
Affine3d A(M);      // ② 提取线性部分做极分解 / 四元数归一化,得到最接近的正交矩阵
Quaterniond q(A.linear());         // 自动正交化
Matrix3d    R = q.toRotationMatrix();// ③ 重新组装为 Isometry3d(刚体),平移直接拷贝
Isometry3d T;
T.linear()      = R;               // 旋转 (正交)
T.translation() = A.translation(); // 平移

要点

  1. 外部矩阵不保证正交 → 先用 Affine3d 接收
  2. 利用 Quaterniond 把 3 × 3 线性块正交化
  3. 重新封装成 Isometry3d,之后即可安全用于 SLAM 位姿累乘

6 性能与数值建议

场景推荐类型
大量位姿累乘 / 求逆Isometry3d
含尺度 / 剪切Affine3d
不确定线性部分是否正交Affine3d,再正交化
与 Sophus / g2o 联合始终保持 Isometry3d

7 常见坑 · 排雷

  1. 乘法顺序与注释不符
    T_a_b * T_b_c 表示“先 c→b,再 b→a”——注释别写反!
  2. 误往 Isometry3d.linear() 写入非正交矩阵
    写完请确保 R.col(i).norm()==1det≈1
  3. 角度单位
    Eigen 全部使用 弧度,杜绝度→弧度混用。
  4. 存盘丢语义
    T.matrix(),读后用 Isometry3d(H) 恢复。

8 Cheat Sheet (贴工位)

#include <Eigen/Geometry>Isometry3d T = Isometry3d::Identity();
T.rotate(q);              // 写旋转
T.pretranslate(t);        // 写平移
Vector3d p = T * pc;      // 变换点
Matrix4d H = T.matrix();  // 导出 4×4
T = Isometry3d(H);        // 从矩阵恢复

9 总结

类型选它的理由典型任务
Isometry3d强制刚体、逆运算 O(1)SLAM 位姿、外参、TF
Affine3d允许缩放/剪切点云/图像几何、CAD
Matrix4d无语义,最通用统一存盘 / 可视化

牢记 “右乘先算,左乘决定结果坐标系”,你的姿态链将稳固无坑。祝开发顺利!


参考资料

  • Eigen 官方文档:https://eigen.tuxfamily.org/dox/group__Geometry__Module.html
  • 《视觉 SLAM 十四讲》第 3 章

http://www.dtcms.com/a/272264.html

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