使用球体模型模拟相机成像:地面与天空的可见性判断与纹理映射
在传统相机模拟中,地面通常被建模为一个平面(Plane),这在低空场景下是合理的。但在更大视场范围或远距观察时,地球的曲率不可忽视。因此,我们需要将地面模型从平面升级为球体,并基于球面与光线的几何关系判断每个像素是否看到地面或天空,并进行地面贴图映射。
本文将介绍完整的数学推导与 C++ 实现逻辑,适用于任何高度、视角和分辨率的相机建模。
一、模型定义
1.1 地球模型
我们将地球建模为一个完美球体:
地球半径(单位:米):
R=6371000地球球心坐标(世界坐标系原点):
O=(0,0,0)地面贴图采用等距圆柱投影(Equirectangular projection)
1.2 相机定义
相机位置在球心正上方,高度为H:
相机方向向量(单位向量):
水平方向X、垂直方向Y、视轴方向Z构成相机坐标系:
相机分辨率为 (W, H),视场角为fov。
二、光线生成与交点判断
2.1 像素对应的光线生成
对于每个像素 (i, j),我们将其映射为归一化视场坐标:
水平范围 [-1, 1],垂直范围 [-1, 1]
假设视场角为fov,焦距为:
则该像素对应的相机坐标为:
再通过相机基向量转换为世界方向:
得到从相机发出的世界坐标系下的光线:
2.2 光线与球体求交
地球表面满足球面方程:
将光线代入球面方程,得到一元二次方程:
展开并整理为:
若
:光线未击中地球,像素显示天空
若
:光线击中地球,交点为:
(若 则交点在背后,也认为看向天空)
三、纹理映射(球坐标转二维纹理)
3.1 世界坐标 → 球坐标
交点为:
转换为球坐标(经纬度):
经度(longitude):
纬度(latitude):
3.2 球坐标 → 贴图坐标 (u, v)
将经纬度映射为贴图坐标(归一化到[0, 1]):
四、C++ 实现核心逻辑
cv::Vec3b tracePixelRay(int px, int py, int W, int H, double fov, const cv::Vec3d& camPos, const cv::Vec3d& X, const cv::Vec3d& Y, const cv::Vec3d& Z, const cv::Mat& texture)
{double aspect = double(W) / H;double fx = (W / 2.0) / tan(fov / 2.0);double fy = fx;double x = (px - W / 2.0) / fx;double y = (H / 2.0 - py) / fy;cv::Vec3d dir_cam = cv::normalize(cv::Vec3d(x, y, -1));cv::Vec3d dir_world = cv::normalize(X * dir_cam[0] + Y * dir_cam[1] + Z * dir_cam[2]);// 光线-球面求交double R = 6371000.0;double a = 1.0;double b = 2.0 * camPos.dot(dir_world);double c = camPos.dot(camPos) - R * R;double delta = b * b - 4 * a * c;if (delta < 0) return cv::Vec3b(0, 0, 0); // 天空double t = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a);if (t <= 0) return cv::Vec3b(0, 0, 0); // 相机后方// 计算交点cv::Vec3d P = camPos + t * dir_world;double theta = atan2(P[1], P[0]);double phi = acos(P[2] / R);double u = (theta + CV_PI) / (2 * CV_PI);double v = phi / CV_PI;int tex_u = u * texture.cols;int tex_v = v * texture.rows;tex_u = std::clamp(tex_u, 0, texture.cols - 1);tex_v = std::clamp(tex_v, 0, texture.rows - 1);return texture.at<cv::Vec3b>(tex_v, tex_u);
}
五、主循环调用
cv::Mat render(int W, int H, double fov_rad, double height, const cv::Vec3d& D_view, const cv::Mat& texture)
{double R = 6371000.0;cv::Vec3d camPos = cv::Vec3d(0, 0, R + height);cv::Vec3d up = cv::Vec3d(0, 1, 0);cv::Vec3d Z = -cv::normalize(D_view);cv::Vec3d X = cv::normalize(up.cross(Z));cv::Vec3d Y = Z.cross(X);cv::Mat img(H, W, CV_8UC3);for (int j = 0; j < H; ++j){for (int i = 0; i < W; ++i){img.at<cv::Vec3b>(j, i) = tracePixelRay(i, j, W, H, fov_rad, camPos, X, Y, Z, texture);}}return img;
}
总结
通过将地面建模为球体并结合光线-球面交点分析,我们能够精确判断每一条视线是否击中地球,实现真实地面与天空的分界。同时,利用等距圆柱投影将地球纹理映射到图像,完成完整可视化。这种方法可广泛应用于卫星成像模拟、导引头视场渲染、地球可视仿真等场景。