当前位置：首页 > news >正文

万字详解AVL树

news 2025/7/4 5:51:58

一、AVL树概念

AVL树，又称为平衡二叉树，它基于二叉搜索树并通过平衡而得到。

在前面的学习中我们提到，二叉搜索树可以提高搜索数据的效率，但在数据有序的情况下会退化为单支树，此时在树中查找元素就得遍历一整个分支，时间复杂度也会退化至O(N)。

在这里插入图片描述

如果可以采用某种方式使作用两边可以达到平衡，便可以很好的平衡效率问题。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL树，解决了上述问题。

二、AVL树性质

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡

这里规定，在一个结点左边插入结点，该结点平衡因子–，反之则++。

AVL树的性质如下：

AVL树可以是空树
一颗AVL树的左右子树都是AVL树
一颗AVL树的左右子树高度差不超过1

在这里插入图片描述

左图为AVL树，右图则不是

三、AVL树实现

一个AVL树想要维持住它的平衡，平衡因子肯定是必不可少的，那么，想一想，我们只考虑当前结点的平衡因子吗？上图的情况是不是要考虑到？既然考虑到父亲结点了，那么爷爷结点要不要考虑到？答案是不用的，爷爷结点的调整一定是基于父亲结点和叔叔结点的，所以我们调整时需要一层一层往上调整，只需考虑父亲结点的平衡因子是否符合条件。所以，一个AVL树结点中要包含：指向两个孩子的指针，父亲结点，平衡因子。

struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};

3.1 插入

AVL树插入过程和二叉搜索树类似，都是和key值进行比较，这里重点讨论：插入数据后如何维持平衡。

当插入数据后会出现两种情况：

当前结点父结点平衡因子< ±1，这种情况无需处理
当前结点父结点平衡因子>±1，这种情况需要处理

在这里插入图片描述

结点平衡因子调整过程和上图类似，一层一层向上调整，直到不用调整为止，但如果某个结点的平衡因子>±1，则不在调整，转而进行处理，根据这种思想，写出代码如下：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}// 链接父亲cur->_parent = parent;// 控制平衡// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//进行处理    }else{assert(false);}}return true;
}

3.2 旋转

要进行搜索树的平衡，可对结点进行旋转实现。在这里插入图片描述

对于该这个搜索树，如何使其平衡呢？这个时候，进行一个左单旋即可维持平衡。

在这里插入图片描述

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

3.2.1左单旋

关于左单旋发生的场景为：右边高了，为了维持平衡，一定要往左边增加结点，右边减少结点。

在这里插入图片描述

这样旋转之后，便达到了平衡且不影响上一层。这里直接用抽象模型进行演示，说明该规律具有普遍性，这里回答一下为什么一定那两个b长度是相同的：如果这两段长度不一致，一长一短，则一定会进行调整因为破坏了AVL的形成条件。

左单旋实现

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3.2.2右单旋

右单旋和左单旋类似，当左边高了，就需要向右旋转，来维持高度平衡。

在这里插入图片描述

右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

3.2.3左右双旋

在这里插入图片描述

针对这棵树，不管进行左/右单旋都无法解决问题，所以便要对其进行双旋，即先对14这个结点进行左旋，对旋转之后的再来一个右旋，即可平衡。

在这里插入图片描述

左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

3.2.4 右左双旋

在这里插入图片描述

这个也是和左右双旋类似

在这里插入图片描述

总结：父节点和自己平衡因子符号相同，必定单旋，向平衡因子小的一边旋转；相反则双旋，旋转方法类似。如实在不明白就画图自行推导即可。

左右双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

3.3 查找

查找和二叉搜索树类似，都是二分查找，时间复杂度O（logN）

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

3.4 平衡检测

该如何检测这个是一个平衡二叉树呢？能不能通过平衡因子进行检测？当然不可以了，因为平衡因子就是咱们进行规定的，自然符合条件，所以必须提出另外一种检测办法。这里采用高度，计算一个结点两边高度，判断是否大于1即可。

bool _IsBalanceTree(Node* root)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}//进行判断平衡因子更新是否正确if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

3.5 有序检测

这里我们采用中序遍历，如若是升序，则该树是有序的

void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);
}

四、完整代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}// 链接父亲cur->_parent = parent;// 控制平衡// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Height(){return _Height(_root);}int Size(){return _Size(_root);}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}bool _IsBalanceTree(Node* root){// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

完！

查看全文

http://www.dtcms.com/a/265393.html