关于数据编码、进制、位运算的详细讲解（从属GESP三级）
本章内容
数据编码基础
进制转换
位运算基础
别让符号位绊住你的步伐，掌握补码，让加减法都成为加法。
一、 数据编码基础
目标：掌握 原码 / 反码 / 补码 的定义与互转、常见进制（2 / 8 / 10 / 16）互化方法，以及补码与位运算在实际运算中的意义与典型考点。
1 🧩 为什么需要 3 种编码？
| 编码 | 结构 | 主要特点 | 缺点 / 难点 | 卷面高频 |
| 原码 | 最高位为符号，剩余位为绝对值 | 真值直观，+0/-0 有两种表示 | 加减法需分正负两套电路 | 判断 ±0 |
| 反码 | 正数同原码；负数＝符号位不变，其余位按位取反 | 减法可用加法+按位取反实现 | 仍有 ±0，并且要考虑进位回补 | “反码=补码？”判断 |
| 补码 | 正数同原码；负数＝反码+1 | 唯一零 ，加减法统一，硬件最简单 | 表示范围不对称，最小负数无正值对应 | 范围、溢出、移位 |
记忆口诀
- • 原→反：符号位不动，其余取反
- • 反→补：末位 +1
2 🔍 数值范围与溢出
8 bit 有符号补码
- • 最大：0111 1111₂ = 127₁₀
- • 最小：1000 0000₂ = -128₁₀
判断补码加法溢出：符号位进位 ≠ 最高位进位 ➟ 溢出。考试常给二进制求和让你判断是否溢出。
3 📚 编码之间的快速互转
- 1. 十进制 → 原码
写出绝对值的二进制，最高位加符号位(0 正 1 负)。 - 2. 原码 → 反码 / 补码
负数才转换：原→反 取反，反→补 加1。 - 3. 补码 → 十进制
若符号位 0，直接转；为 1 时先求反码，再求原码，最后取值加负号。
4✏️ 进制转换秒法
| 方向 | 方法 | 例题（历届真题） |
| 16 → 8 | 先 16→2（4 位为 1 组），再 2→8（3 位为 1 组） | B2025₁₆ → 2620045₈ （2024-12 三级第 3 题） |
| 10 → 2（整数） | 连除 2 取余倒写 | 625₁₀ → 1001110001₂ （同卷第 4 题） |
| 10 → 2（小数） | 乘 2 取整顺写 | 0.8125₁₀ → 0.1101₂（2024-09 第 4 题） |
技巧
- • 2⇄8：三位一拍手；2⇄16：四位抱成团。
- • 带小数时，整数、⼩数部分分别转换再拼接。
5 📄 位运算与补码
| 运算 | 作用 | 典型考法 |
|
AND | 清 0 / 掩码提取 |
取低 4 位 |
| ` | ` OR | 置 1 / 合并标志 |
|
XOR | 取反 / 交换两数 | 见 2024-09 第 7 题“异或交换” |
|
NOT | 逐位取反 | 判断补码知识点 |
|
|
×2ⁿ， | 2024-12 第 6 题考负数右移 |
6 📁 历年高频考点总结
| 类别 | 高频问法 | 例 |
| 概念判断 | “负数的反码和补码是否一样？” | 2024-12 第 2 题 |
| 编码填空 | 给出 | 常见 8 bit 补码辨认 |
| 进制速算 | 二、八、十、十六互化 | 多次出现于 2023-06 / 2024-12 卷 |
| 位运算结果 |
对错判定 | 2024-12 第 5 题 |
| 移位与符号 | 负数右移后结果 | 2024-12 第 6 题 |
7 🔔 易错点 & 备考建议
- 1. ±0 混淆：补码只有一个 0；原码/反码有两个。
- 2. 符号扩展：带符号右移请保留符号位。
- 3. 最小负数：如 -128 (1000 0000₂) 取反再加 1 会溢出，务必牢记。
- 4. 小数二进制：乘 2 取整过程别漏 0。
- 5. 移位优先级：位运算优先级低于算术运算，必要时加括号。
刷题顺序
① 读大纲关键词 → ② 按年份把对应题目做一遍 → ③ 归类错因 → ④ 30 min 速刷补码计算与进制互化练习。
8 📊 课后 5 分钟快练
- 1. 8 bit 补码
1111 1011₂表示的十进制数是？ - 2. 把
0.375₁₀写成二进制。 - 3. 判断：补码
1010 0000₂ >> 3的结果是否仍为负数？ - 4. 将
7C3₁₆直接写成八进制。 - 5. 32-bit int
a，执行a ^= (1<<5);的作用是什么？
小结：数据编码是连接计算机硬件与程序语义的“翻译官”。熟练掌握 原/反/补码 与 进制转换，为后续位运算、整数溢出分析打下坚实基础。
二、进制转换
1 📌 进制概念一张表
| 基数 | 记号示例 | 用途/真题现身 |
| 二进制 (2) |
| 机器底层；真题常问“×××₁₀→₂” 或 “补码” |
| 八进制 (8) |
（前导 0） | 早期权限/颜色码；真题： |
| 十进制 (10) |
| 人类日常 |
| 十六进制 (16) |
| 汇编、颜色、补码展示；真题常给 16→10、16→8 |
2 📈 整数部分的转换算法
2.1 十进制 → 任意基 b（除基取余）
vector<int> res;
while (N) { res.push_back(N % b); N /= b; }
reverse(res.begin(), res.end());- • 真题代码填空：
decimal % 8; decimal /= 8;（十转八）
2.2 2 → 8 / 16（分组法）
- • 每 3 位二进制 = 1 位八进制；每 4 位二进制 = 1 位十六进制。
- • 23 级单选专门考“由低到高分组”
2.3 8 / 16 → 2（反向分组）
- •
7→111₂、F→1111₂，再拼接；避免抄错高位补 0。
3 📉 小数部分的转换算法
| 方向 | 操作 | 真题示例 |
| 10 → 2/8/16 | 反复 乘基取整： |
|
| 2/8/16 → 10 | Σ(数字×基^-位次) |
（24-06-5） |
循环小数：若乘基后出现循环余数，则出现循环节；考场通常限制精度或给定可整除样例（如 0.625）。
4 🔗 补码与负数（真题必考）
| 步骤 | 8 位示例： |
| 原码 |
|
| 反码 | 负数：符号位不动，其余取反 → |
| 补码 | 反码 + 1 → |
考点 ① “补码简化硬件加减” 单选答案 B
考点 ② 补码范围：8 位有符号 -128~127 单选答案 A。
5 🖨️ C++ 常见实现与坑
5.1 标准库
| 功能 | 代码片段 |
| 字符串 → 整数 |
|
| 整数 → 不同进制输出 |
（真题填空选 |
| 现代 C++17 |
支持 2–36 基数 |
陷阱
- 1. 前缀
0输入被cin当 八进制。 - 2.
std::hex会一直影响后续输出，记得cout<<std::dec;恢复。
5.2 常用模板
string dec2hex(unsigned n){string s; const char *d="0123456789ABCDEF";do{ s.push_back(d[n&15]); n>>=4; }while(n);reverse(s.begin(),s.end()); return s;
}6 ❌ 真题型“陷阱”速览
| 考法 | 代表题 | 关键点 |
| 速选结果 |
的二进制 | 整数、分数分别转换再合并（25-03-4） |
| 代码填空 | while 除 8 取余 | 递增 |
| 负数补码判断 | 8 位原/反/补对应 | 一位不同定律、符号位不动 |
| “看位判断进制合法性” | 输出四列 0/1（23-09 编程） | 最大字符法快速判断可用进制 |
7 📄 速记口诀
“除基取余得整数，乘基取整求小数；三位八、四位十六，负数反补少一步！”
三、🔧 位运算基础
位运算（Bitwise Operation）＝按二进制位直接进行的运算。
1 🎯 六大基本运算符
| 运算符 | 名称 | 二进制规则 |
|
| 按位 AND | 1 & 1 → 1，其余 → 0 |
| ` | ` | 按位 OR |
|
| 按位 XOR | 相同 → 0，不同 → 1 |
|
| 非 （取反） | 0 ↔ 1（单目） |
|
| 左移 | 整体向高位移，低位补 0 |
|
| 右移 | 整体向低位移，符号位复制（有符号）或补 0（无符号） |
优先级：~ > << >> > & > ^ > |。常用括号防错。
2 💡 真值表速背
| A | B | A&B | A|B | A^B |
|---|---|-------|-------|-------|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
3 🧪 常见“位技巧”模板
| 目标 | 公式 | 说明 |
| 取第 k 位 |
| 右移到最低位后与 1 相与 |
| 置 1 第 k 位 | `(n >> k) | 1` |
| 清 0 第 k 位 |
| |
| 翻转第 k 位 |
| |
| 判断奇偶 |
| 结果 0 → 偶，1 → 奇 |
| 低位快速乘 / 除 2ᵏ |
/ | 左移乘，右移除 |
4 🗂️ 典型真题拆解
| 真题问法 | 核心考点 | 一句答案 |
|
可实现什么？ | 去最低位 1 | 清掉最右侧 1（25-03-选择） |
|
在 8 位结果？ | 取反 |
|
|
的值？ | 左移乘 2 | 10 |
|
| 逻辑右移 |
(即 3) |
|
的结果？ | XOR 自反 | 0 |
5 📌 移位细节
- 1. 符号位复制
-
- •
int y = -8; y >> 1;→ 仍为负（最高位补 1）。 - • 若想逻辑右移用 无符号：
unsigned(y) >> 1。
- •
- 2. 超位宽移位
-
- •
x << 32在 32-bit UB。考题常问“结果未定义”。
- •
- 3. 优先级
-
- •
a & 1 << k⇒ 实际为a & (1<<k)? 需加括号。
- •
6 🕒 小方法（真题改编）
// 统计整数 n 的二进制 1 的个数（Brian–Kernighan）
int popcount(int n){int cnt=0;while(n){n &= n-1; // 每次消掉最低 1cnt++;}return cnt;
}
// 真题：输入正整数，输出 1 的个数（24-12-编程）
// 交换变量最低两位
x = ((x & 1)<<1) | ((x & 2)>>1) | (x & ~3);
// 逻辑：提取第 0/1 位互换7 ❌ 易错 TOP-4
| 易错 | 正确写法 |
|
|
|
| 忘记无符号逻辑右移 |
|
| 把 XOR 当 OR | XOR 只在不同位 1 |
| 超位宽移位 | 先转 |
8 ⭐ 速背口诀
与清零、或置位，异或翻转快如飞；移左乘、移右除，取位必须先括弧！
四、精选选择题 （10 题）
✅ 1. 【位运算 · 真题】
题目：设 unsigned x = 0xF0F0;，表达式 x & 0x0FF0 的结果为
A. 0xF0F0 B. 0x00F0 C. 0x0F00 D. 0xFF00
答案：C
解析：
x = 1111 0000 1111 0000
mask = 0000 1111 1111 0000
AND = 0000 1111 0000 0000 = 0x0F00【出自：24 年 6 月选择题 3】
✅ 2. 【位运算】
题目：要把变量 n 的第 5 位（从 0 开始计）清 0，可使用下列哪条语句？
A. n &= ~(1 << 5); B. n |= ~(1 << 5);
C. n ^= ~(1 << 5); D. n |= (1 << 5);
答案：A
解析：1<<5 得掩码 0x20，取反后第 5 位为 0，其余位 1；与运算可清 0 指定位。
✅ 3. 【位运算 · 真题】
题目：对于正整数 n，下列哪行代码可以快速判断 n 是否为 2 的整数次幂？
A. !(n & (n-1)) B. (n | (n-1)) == 0
C. (n ^ (n-1)) == 1 D. (n & (n+1)) == 0
答案：A
解析：若 n 为 2 的幂，则只有一个 1；n-1 把该 1 变成 0 且低位全 1，与运算结果为 0。
【出自：23 年 12 月选择题 6】
✅ 4. 【位运算】
题目：表达式 ((a & b) ^ (a | b)) 等价于下列哪个选项？
A. ~a B. a ^ b C. a & (~b) D. 0
答案：B
解析：集合恒等式：(A∩B) Δ (A∪B) = AΔB。按位逻辑等同。
✅ 5. 【位运算 · 真题】
题目：在 32 位带符号整数中，-1 >> 1 的值为
A. 0x7FFFFFFF B. 0xFFFFFFFF C. 0x00000000 D. 0x80000000
答案：B
解析：算术右移，符号位 1 保持，所有位补 1，结果仍为 -1。
【出自：24 年 9 月选择题 5】
✅ 6. 【位运算】
题目：以下哪一行代码可以交换 x、y 两整数而不使用临时变量？
A. x = x + y; y = x - y; x = x - y;
B. x ^= y; y ^= x; x ^= y;
C. x = (x & y) | (x & ~y);
D. x |= y; y |= x; x |= y;
答案：B
解析：三次异或交换经典 trick；A 有溢出风险。
✅ 7. 【位运算 · 真题】
题目：8 位补码 11010100₂ 表示的十进制数是
A. -44 B. -44-1=-45 C. 44 D. 212
答案：A
解析：最高位 1 表负；求正值：~11010100+1=00101100=44，故结果 -44。
【出自：25 年 3 月选择题 7】
✅ 8. 【位运算】
题目：若 unsigned char c = 0b00101101;，执行 c &= c-1; 后 c 的值为
A. 0b00101100 B. 0b00101110 C. 0b00101101 D. 0b00101001
答案：A
解析：c&(c-1) 清掉最低位 1。
✅ 9. 【位运算 · 真题】
题目：表达式 1 << 33 在 32 位编译环境下的行为是
A. 结果未定义（UB） B. 等于 0 C. 等于 2 D. 等于 4
答案：A
解析：移位位数 ≥ 类型宽度在 C++ 中属于未定义行为。
【出自：23 年 6 月选择题 11】
✅ 10. 【位运算】
题目：若想判断 x 是否为奇数，下列写法最有效率的是
A. x % 2 == 1 B. x & 1 C. x >> 1 << 1 != x D. (x^1) == x+1
答案：B
解析：按位与 1 直接取最低位，复杂度最小。
五、精选判断题 （10 题）
✅ 1. 【位运算 · 真题】
题目：在 C++ 中，a ^ a 的结果恒为 0。
答案：对
解析：异或同值消 0。
【出自：24 年 12 月判断题 9】
✅ 2. 【位运算】
题目：对于任意 unsigned int n，表达式 n << 1 等价于 n * 2。
答案：对
解析：无符号左移一位相当于乘 2，且无溢出则数值相同。
✅ 3. 【位运算 · 真题】
题目：在 8 位补码中，~(0x00) 的值为 0xFF。
答案：对
解析：按位取反，0→全 1。
【出自：23 年 9 月判断题 6】
✅ 4. 【位运算】
题目：若 x 与 x-1 按位与后结果为 0，则 x 一定是 2 的幂。
答案：对
解析：仅 2 的幂拥有单独 1 位。
✅ 5. 【位运算】
题目：在带符号右移中，高位补 0 和补 1 的行为由编译器决定，与数据类型无关。
答案：错
解析：带符号整数右移遵循算术右移，高位补符号位；无符号右移逻辑补 0。
✅ 6. 【位运算 · 真题】
题目：表达式 ~(~x) 恒等于 x。
答案：对
解析：两次按位非相当于原值。
【出自：24 年 6 月判断题 8】
✅ 7. 【位运算】
题目：交换两个整数时，三次异或法会改变原有的位模式顺序。
答案：错
解析：异或交换不丢位，只互换变量值。
✅ 8. 【位运算 · 真题】
题目：表达式 x & (~x) 的值恒为 0。
答案：对
解析：x 与补码互补位无交集。
【出自：24 年 9 月判断题 10】
✅ 9. 【位运算】
题目：若 unsigned y = 1;，则 (y >> 1) == 0。
答案：对
解析：逻辑右移一位低位被抛弃，高位补 0，得到 0。
✅ 10. 【位运算】
题目：把 n &= (n-1) 连续执行 k 次可清除 n 二进制表示中最右侧 k 个 1。
答案：对
解析：每执行一次消掉一位最右 1，迭代 k 次即可。
六、 精选编程题
✅ 1. 【位运算 · 真题】
题目回顾：输入 32 位无符号整数 N，输出其二进制中 1 的个数。
解题思路
- • 核心：利用
n &= n-1每次消掉最低位 1，循环计数（Brian–Kernighan 算法）。 - • 复杂度：O(1) 空间，时间与 1 的个数成正比，最坏 32 次。
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {uint32_t n;if (!(cin >> n)) return 0;int cnt = 0;while (n) {n &= (n - 1); // 消除最低位 1++cnt;}cout << cnt << '\n';return 0;
}✅ 2. 【进制转换 · 编程】
题目回顾：将十进制正整数 X 转成基数 B（2 / 8 / 16）并输出。
解题思路
- • 方法：对
X反复X % B记录余数，X /= B更新，最后把余数逆序输出。 - • 字符映射：余数 0–15 映射到
"0123456789ABCDEF"。 - • 复杂度：时间 O(log_B X)，空间 O(log_B X) 存储结果字符。
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;string convert(unsigned long long x, int base) {const char *dig = "0123456789ABCDEF";if (x == 0) return "0";string s;while (x) {s.push_back(dig[x % base]);x /= base;}reverse(s.begin(), s.end());return s;
}int main() {unsigned long long x; int b;if (!(cin >> x >> b)) return 0;cout << convert(x, b) << '\n';return 0;
}