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《信号与系统》第 10 章 z变换

news 来源：原创 2025/6/22 12:34:50

$x(t)=e^{st}=e^{(\sigma +j\omega )t}$
$x[n]=z^{n}=(re^{j\omega })^{n}$

10.0 引言

第9章讨论了拉普拉斯变换，将它作为连续时间傅里叶变换的一种推广。进行这种推广的部分原因是由于拉普拉斯变换比傅里叶变换有更广的适用范围，因为有不少信号，其傅里叶变换不存在，但却有拉普拉斯变换。例如，对不稳定系统有可能用拉普拉斯变换进行变换域分析，这就为线性时不变系统的分析提供了另一种角度和手段。

在这一章讨论z变换时，就是将z变换当成在离散时间傅里叶变换的推广。读者将会看到，在为什么要引入z变换，以及z变换的性质等方面，都与拉普拉斯变换十分相似。然而，正如连续时间和离散时间傅里叶变换之间的关系一样，在z变换和拉普拉斯变换之间也一定存在一些很重要的不同；而这些不同正是来自连续时间和离散时间信号与系统之间的基本差异。

10.1 z变换

由3.2节讨论可知，单位脉冲响应为h[n]的离散时间线性时不变系统对复指数输入z^n的响应y[n]为

复指数·加权求和

若z=e^jω，这里ω为实数(即|z| = 1)，则式(10.2)的求和式就是h[n]的离散时间傅里叶变换。

纯虚复指数·加权求和——单位圆Z变换

在更为一般的情况下，当|z|不限制为1的时候，式(10.2)就称为h[n]的z变换。

一个离散时间信号x[n]的（双边）z变换定义为

其中z是一个复变量。有时为了方便，也将x[n]的z变换写为，而x[n]和它的z变换之间的关系记为

在第9章中，对于连续时间信号，讨论了拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的几个重要关系。与此相仿，但不完全一样，z变换和离散时间傅里叶变换之间也存在几个重要关系。为了说明这些关系，现将复变量z表示成极坐标形式为

用r表示z的模，而用ω表示它的相角。利用r和ω，式( 10.3)变成

或等效为

由式(10.6)可见，X(re^jω)就是序列x[n]乘以实指数r^-n后的傅里叶变换，即

指数加权r^-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。特别注意到，若r =1，或等效为|z|=1，式(10.3)就变为傅里叶变换，即

离散时间信号的z变换和傅里叶变换之间关系的讨论与9.1节对连续时间信号的讨论是紧密并行的，但具有一些重要的不同：

① 在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换就演变为傅里叶变换。利用复平面s来解释，这就意味着，在虚轴jω上的拉普拉斯变换就是傅里叶变换。

② 与此对应的是，在z变换中是当变换变量z的模为1，即z = e^jω时，z变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数z平面中，半径为1的圆上的z变换，如图10.1所示。在z平面上，这个圆称为单位圆。

这个单位圆在z变换讨论中所起的作用，非常类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换讨论中所起的作用。

从式(10.7)可知，为了使z变换收敛，要求x[n]r^-n的傅里叶变换收敛。对于任何一个具体的序列x[n]来说，可以想到对某些r值，其傅里叶变换收敛，而对另一些r值来说则不收敛。一般来说，对于某一序列的z变换，存在着某一个z值的范围，对该范围内的z，X(z)收敛。和拉普拉斯变换一样，这样一些值的范围称为收敛域(ROC)。

如果收敛域包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。

为了说明z变换及其有关的收敛域，现举下面几个例子。

【例1】单边指数序列

Z变换

当a=1，得到单位阶跃序列的z变换

可以看到，式(10.9)的z变换是一个有理函数。当然，和拉普拉斯变换一样，z变换也能够用它的零点(分子多项式的根)和极点(分母多项式的根)来表示。对于这个例子，有一个在z=0的零点和一个在z=a的极点，当a为0和1之间的某个值时，例10.1的零-极点图和收敛域如图10.2所示。

若|a| >1，则收敛域不包括单位圆；这一点与下述事实是一致的：当|a| >1时，a^nu[n]的傅里叶变换不收敛。

【例2】负单边指数序列

Z变换

当a的值位于0和1之间时，该例的零-极点图和收敛域如图10.3所示。

比较式(10.9)和式(10.10)及图10.2和图10.3，可以看出，在例10.1和例10.2中，两者的X(z)代数表示式和零-极点图都是一样的，不同的仅是z变换的收敛域。

因此，和拉普拉斯变换一样，z变换的表述既要求它的代数表示式，又要求相应的收敛域。另外，还可看出在这两个例子中，序列都是指数的，所得到的变换就是有理的。事实上，在下面的例子中将进一步阐明，只要x[n]是实指数或复指数的线性组合，X(z)就一定是有理的。

【例3】单边实指数序列和

Z变换

图10.4分别画出了每一项z变换的零-极点图和收敛域以及组合信号z变换的零-极点图和收敛域。

【例4】单边复指数序列线性组合

Z变换

为了保证X(z)收敛，式(10.19)中的两个和式都必须收敛，这个例子的零-极点图和收敛域如图10.5所示。

在以上4个例子中，都将z变换既表示成z的多项式之比，又表示成z^-1的多项式之比。从式( 10.3)这种z变换的定义形式中可以看到，对于那些在n<0时为零的序列，X(z)仅涉及z的负幂，因此对这种信号，把X(z)表示成z^-1的多项式特别方便。在以后的讨论中，只要合适，都采用这种表示形式。

然而，关于极点和零点，总是利用以z为多项式表示的分母与分子多项式的根。另外，将X(z)写成z多项式之比有时也很方便，如在考察无限远点的零极点时就是这样，若分子的阶次超过分母的阶次，那么在无限远点就有极点；若分子的阶次小于分母的阶次，那么在无限远点就有零点。

10.2 z变换的收敛域

在第9章中已看到，对于各种不同类型的信号，在拉普拉斯变换收敛域上都有一些特别的性质，而且理解了这些性质会对拉普拉斯变换有更进一步的理解。这一节将以类似的方式来说明z变换收敛域的几个性质。以下讨论的每一个性质及其证明都是与9.2节讨论的每一个性质相并行的。

这个性质如图10.6所示。

这是由于收敛域是由这样一些z = re^jω值组成的，对于这些z值，x[n]r^-n的傅里叶变换收敛。这就是说，x[n]的z变换的收敛域是由x[n]r^-n绝对可和的那些z值组成的：

因此，收敛域仅决定于r = |z|，而与ω无关。结果，若某一具体的z值在收敛域内，那么位于同一圆上的全部z值(即具有相同的模)也一定在收敛域内。这本身就保证了收敛域是由同心圆环组成的。在讨论性质6时将会看到，以向内延伸到原点，而在另一些情况下，外圆边界可以向外延伸到无限远。

事实上收敛域必须仅由一个单一的圆环组成。在某些情况下，收敛域的内圆边界可以向内延伸到原点，而在另一些情况下，外圆边界可以向外延伸到无限远。

和拉普拉斯变换一样，这一性质是由于在极点处，X(z)为无穷大，因此根据定义，z变换不收敛。

一个有限长序列仅有有限个非零值，例如从n=N1到n =N2，其中N1和N2都是有限值。

于是z变换就是一个有限项的和，即

当z不等于零或无穷大时，和式中的每一项都是有限的，X(z)就一定收敛。

如果N1为负值且N2为正值，那么x[n]对n<0和n>0都有非零值，式(10.22)的和式中既包括z的正幂次项，又包括z的负幂次项。

当|z|→0时，涉及z的负幂次的那些项就成为无界的；而当|z|→∞时，涉及z的正幂次的那些项就成为无界的。因此，在N1为负值且N2为正值时，收敛域不包括z=0和z=∞。如果N1为零或为正值，那么式(10.22)中仅有z的负幂次项，这时收敛域就可以包括z=∞；而如果N2为零或为负值，式(10.22)中就仅有z的正幂次项，收敛域就可以包括z=0。

【例5】单脉冲信号的z变换为1，全z平面收敛

延时单脉冲的z变换，全z平面收敛（z=0除外）

超前单脉冲的z变换，全z平面收敛（z=∞除外）

右边序列，收敛圆向外

这个性质的证明和9.2节性质4的论述是相同的。一个右边序列就是在某一个n值，如N1以前是零。如果|z| = r0的圆位于收敛域内，那么x[n]r0^-n就是绝对可和的。现在考虑|z|=r1，r1>r0，这样r1^-n随n的增加衰减得比r0^-n还要快。正如图10.7所示，当n为正值时，这个加快了衰减的指数将进一步使序列值衰减，而负的n值却不能使序列值成为无界，因为x[n]是右边序列，尤其是n<N1时x[n]z^-n=0。因此，x[n]r1^-n是绝对可和的。

对于右边序列，通常式(10.3)可取如下形式：

其中N1是有限值，可以正也可以负——如果N1是负的，那么式(10.26)的和式中将包括z的正幂次项，这些项将随|z|→∞而变成无界的。因此，一般来说，右边序列的收敛域不包括无限远点。然而，对于因果序列，即n<0时序列值为零的序列，N一定为非负，因此收敛域一定包括z = ∞。

左边序列，收敛域向内

这个性质与拉普拉斯变换相应的性质也是并行的，并且它的证明和直观性与性质4是类似的。一般来说，根据式(10.3 )，一个左边序列的z变换将有如下形式：

其中N2可正可负——如果N2为正值，那么式(10.27)中将包括z的负幂次项，这些项将随|z|→0而变成无界的。因此，一般左边序列的z变换，其收敛域不包括z=0，然而如果N2≤0(即n>0时x[n]=0)，那么收敛域一定包括z=0。

与9.2节的性质6一样，双边序列的收敛域可以把x[n]表示成一个右边信号和一个左边信号之和来确定。右边分量的收跟域在内部被一个圆所界定，而向外延伸无限远点；左边分量的收敛域向外被一圆所界定，而向内延伸到（或可能包括）原点。整个序列的收敛域就是这两部分收敛域的相交。如图10.8所示。重叠部分（假定有）就是z平面内的一个圆环。

下面将用几个例子来说明上面几个性质，这些例子与例9.6和例9.7是并列的。

【例6】有限长序列

z变换

因为x[ n]是有限长的，由性质3立即可得收敛域包括整个z平面，可能除去原点和/或无限远点。事实上，由性质3的讨论知道，因为n<0时x[n] =0，所以收敛域将延伸至无限远。然而，因为x[n]从某些正n值起是非零值，所以收敛域不包括原点。由式(10.28)也很明显看出，因为在z=0有一个N-1阶的极点。分子多项式的N个根是

在k=0的根抵消掉在z=a的极点。因此，除原点外就没有任何极点。余下的零点是在

它的零-极点图如图10.9所示。

【例7】双边序列

该双边序列在b<1和b>1时如图10.10所示

则

在图10.11(a)至图10.11(d)中，给出了在b>1和0<b<1时，由式(10.31)和式(10.34)表示的零-极点图和收敛域。

对于b>1，没有任何公共的收敛域，因此由式(10.31)表示的序列没有z变换，尽管其右边和左边序列都有单独的z变换。对于b<1，式(10.33)和式(10.34)的收敛域有重叠，因此合成序列的z变换是

对应的零-极点图和收敛域如图10.11(e)所示

在第9章拉普拉斯变换的讨论中曾提到，对一个有理拉普拉斯变换来说，收敛域总是被极点或无限远点所界定的。在前面几个例子中可以看到，这一点对于z变换来说也是成立的，并且事实上这总是对的，从而有

将性质7与性质4、性质5结合在一起，就有：

因此，对于具有有理变换的右边序列，它的全部极点比收敛域中的任何一点都更加靠拢原点。

因此,对于左边序列，除了可能在z=0的极点外，X(z)的极点都比收敛域中任何一点更加远离原点。

对于一个给定的零-极点图，或等效为一个给定的有理X(z)的代数表示式，存在着有限的几个不同的收敛域与上述性质相符。为了说明不同的收敛域是如何与同一个零-极点图相联系的，现给出下面这个例子。这个例子与例9.8是并行的。

【例8】设有一z变换

现在来讨论与该X(z)有关的所有可能的收敛域。X(z)的零-极点图如图10.12(a)所示。根据本节的讨论，有三种可能所收敛域都能与这个z变换的代数表示式相联系，这些收敛域分别在图10.12(b)至图10.12 (d)中指出。

三种收敛域中的每一个都对应于不同的序列，其中图10.12(b)所示收敛域对应于一个右边序列，而图10.12(c)所示的收敛域则对应于一个左边序列。图10.12(d)是一个双边序列z变换的收敛域。三种情况中唯有图10.12(d)才包括单位圆，因此只有与其对应的序列才有傅里叶变换。

10.3 z逆变换

这一节来讨论从已知z变换求得一个序列的几种方法。首先，考虑用z变换表示一个序列的数学关系。在10.1节曾把z变换看成一个指数加权后的序列的傅里叶变换，根据这种解释就可以得到这一关系。按式(10.7)的表示

其中的r值是位于收敛域内的z=re^jω的模。对式(10.38)两边进行傅里叶逆变换，得

或者

利用式(5.8)的傅里叶逆变换表示式，可得

或者，将r^n的指数因子移进积分号内，与e^jωn项归并成(re^jω)^n，则得

这就是说，将z变换沿着收敛域内z=re^jω，r固定而ω在一个2π区间内变化的团合围线求值，就能够将x[n]恢复出来。现在将积分变量从ω变为z。由于z=re^jω，r固定，dz =jre^jωdω=jzdω，或
者dω = (1/j)z^-1dz。这样，式(10.40)在ω的2π区间的积分，利用z以后，就对应于以变量z在环绕|z|=r的圆上一周的积分。因此，根据z平面内的积分，式(10.40)就可重写为

式中记为在半径为r，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。r的值可选为使X(z)收敛的任何值；也就是使|z|=r的积分围线位于收敛域内的任何值。

式(10.41)就是z逆变换的正规数学表示式，并且它与拉普拉斯逆变换式(9.56)是对应的。

和式(9.56)一样，式(10.41)逆变换的求值要利用复平面的围线积分。然而，还有另外几个方法可以从z变换求得与其对应的序列。和拉普拉斯变换一样，其中特别有用的是，对于一个有理z变换，可以首先将它进行部分分式展开，然后逐项求其逆变换。现用下例给予具体说明。

【例9】z变换X(z)为

有两个极点，一个在z=1/3，另一个在z= 1/4，而收敛域位于最外边极点的外边。也就是收敛域由所有的模大于最大极点模值(即z=1/3的极点)的点组成。根据10.2节的性质4可知，逆变换是一个右边序列。由附录A所述，X(z)可按部分分式方法展开。对于这个例子，以z^-1多项式表示的部分分式展开式为

由于X(z)的收敛域位于最外层极点的外边，所以在式( 10.43)中每一项的收敛域都必须位于自己极点的外边；也就是每一项的收敛域由所有模大于相应极点模值的点组成。于是

【例10】考虑和式(10.42)相同的X(z)的代数表示式，但X(z)的收敛域是1/4<lzl<1/3。式(10.43)的部分分式展开式仍然有效，但与每一项有关的收敛域将改变。因为X(z)的收敛域在z =1/4的极点的外边，那么在式(10.43)中对应于这一项的收敛域也就在这个极点的外边，并由模值大于1/4的全部点组成，这就如同在前面例子中所做的那样。然而，又因为在这个例子中X(z)的收敛域位于z =1/3的极点的里边；也就是说，因为收敛域内的所有点的模值都小于1/3，那么对应于这一项的收敛域也必须位于这个极点的里边。这样，对于式(10.44)每一分量的z变换对就是

【例11】最后，考虑X(z)仍如式(10.42)表示，但收敛域是lzl <1/4的情况。这时，收敛域在两个极点的里边，即收敛域内的点的模值比极点z=1/3或z=1/4的模值都小，因此在式(10.43)的部分分式展开式中的每一项的收敛域也必须位于相应极点的里边。结果，x[n]的z变换对为

前面这些例子说明了利用部分分式展开的方法来确定z变换的基本步骤。和拉普拉斯变换对应的方法一样，这个方法依赖于将z变换表示成一组较简单项的线性组合，而对每―简单项的逆变换都能凭直观求得。特别是，假定X(z)的部分分式展开式具有如下形式：

X(z)的逆变换就等于式(10.55)中每一项逆变换之和。若X(z)的收敛域位于极点z = ai；的外边，那么与式(10.55)中相应项的逆变换就是；另一方面，若X(z)的收敛域位于极点z=ai的里边，那么对应于这一项的逆变换就是。一般来说，在X(z)的部分分式展开式中，可以包括在式10.55中的一次项以外的其他项。10.6节将列出其他几个z变换对，利用这些变换对，再与10.5节将要讨论的z变换性质结合起来，就能将上述例子中建立的求逆变换方法推广到任意有理z变换中。

确定z逆变换的另一种十分有用的方法建立在X(z)的幂级数展开的基础上。这个方法直接来自z变换的定义式(10.3)，因为由这个定义可看到，实际上z变换就是涉及z的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值x[n]。为了说明一个幂级数的展开式如何用来得到z逆变换，现考虑如下三个例子。

【例12】z变换

根据式(10.3)中z变换的幂级数定义，凭直观就能确定X(z)的逆变换为

即

比较式(10.56)和式(10.57)可以看出，不同的z的幂在序列中作为不同的占位符；也就是说，若应用如下变换对：

就能立即由式(10.56)过渡到式(10.57)，反之亦然。

【例13】z变换

该式可用长除法将其展开成幂级数

或者写为

因为|z|>|a|，或|az^-1|<1，所以式(10.58)的级数收敛。将该式与式(10.3)的z变换定义进行比较可见：n <0时x[n]=0，x[0]=1，x[1]=a，x[2]=a^2，…，x[n]=a^nu[n]，这个结果与例10.1是一致的。

如果X(z)的收敛域是|z|<|a|，或者等效为|az^-1|>1，那么式(10.58)中1/(1-az^-1)的幂级数展开式就不收敛。然而，再利用一次长除法可以得到一个收敛的幂级数为

或者

在这种情况下，n≥0时x[n]=0，x[-1]=-a^-1，x[-2]=-a^-2，...，即x[n]=-a^-nu[-n-1]。这
个结果与例10.2是一致的。

用幂级数展开法来求z逆变换对非有理z变换式特别有用，现用下面的例子来说明。

【例14】z变换

由于|z|>|a|，或等效为|az^-1|<1，可将式(10.60)展开为泰勒级数

将上式用于式(10.60)就有

据此，就可确认出

或等效为

在习题10.63中将考虑收敛域为|z|<|a|的一个例子。

10.4 利用零-极点图对傅里叶变换进行几何求值

……

10.4.1 一阶系统

……

10.4.2 二阶系统

……

10.5 z变换的性质

和已经讨论过的其他变换一样，z变换也具有许多性质，这些性质在离散时间信号与系统的研究中成为很有价值的工具。这一节将综述这些性质。由于这些性质的推导都与其他变换相类似，所以很多推导都留给读者作为练习(见习题10.43和习题10.51至习题10.54)。

10.5.1 线性性质

如同所指出的，线性组合的收敛域至少是R1和R2相重合的部分——可能比交集更大。

对于具有有理z变换的序列，如果aX1(z)+bX2(z)的极点是由X1(z)和X2(z)的全部极点构成的(也就是说，没有零极点相消)，那么收敛域就一定是各单个收敛域的重叠部分。

如果线性组合是这样来构成的，使某些零点的引入抵消掉某些极点，那么收敛域就可以增大。

属于这种情况的一个简单例子是，x1[n]和x2[n]都是无限长序列，但线性组合以后成为有限长序列了。在这种情况下，线性组合后的序列的z变换，其收敛域就是整个z平面，可能除去原点和/或无限远点。例如，序列a^n·u[n]和序列a^n·u[n-1]都有一个z变换的收敛域为|z|>|a|，但它们之差的序列(a^nu[n] - a^nu[n -1])=δ[n]的z变换却有一个收敛域是整个z平面。

10.5.2 时移性质

由于乘以z^-n0，因此若n0>0，z^n0将会在z=0引入极点，而这些极点可以抵消X(z)在z=0的零点。因此，虽然z=0可以不是X(z)的一个极点，但却可以是z^-n0X(z)的一个极点。在这种情况下，z^-n0X(z)的收敛域等于X(z)的收敛域，但原点要除去。类似地，若n0<0，z^-n0将在z=0引入零点，它可以抵消X(z)在z =0 的极点。这样当z=0不是X(z)的一个极点时，却可以是z^-n0X(z)的一个零点。在这种情况下，z=∞是z^-n0X(z)的一个极点，因此z^-n0X(z)的收敛域等于X(z)的收敛域，但z = ∞要除去。

10.5.3 z域尺度变换

其中|z0|R代表域R的一种尺度变化。这就是说，若z是X(z)的收敛域内的一点，那么点|z0|z就在X(z/z0)的收敛域内。同样，若X(z)有一个极点(或零点)在z=a，那么X(z/z0)就有一个极点(或零点)在z=z0/a。

式(10.73)的一个重要的特例是当z0=z^jω0时，这时|z|R=R，并且

式(10.74)的左边相应于乘以复指数序列，而右边可以看成在z平面内的旋转，也就是说，全部零极点的位置在z平面内旋转一个ω0的角度，如图10.15所示。这一过程可以这样来看，如果X(z)中有一个因式(1-az^-1)，那么X(e^-jω0z)中将有一个因式为(1-a·e^jω0·z^-1)，于是X(z)在z=a的一个极点或零点就变成X(e^-jω0z)中在z=ae^jω0的一个极点或零点。这样，z变换在单位圆上的特性也将移动一个角度ω0。这一点与5.3.3节的频移性质是一致的，即时域内乘以复指数是与傅里叶变换的频移相对应的。另外，在z0=r0e^jω0的一般情况下，式( 10.73 )所代表的极点和零点的位置变化除了有一个ω0旋转以外，在大小上还要有r0倍的变化。

10.5.4 时间反转

这就是说，若z在x[n]的z变换收敛域内，那么1/z就在x[-n]的z变换的收敛域内。

10.5.5 时间扩展

在5.3.7节中已讨论到，连续时间的时域尺度变换的概念不能直接推广到离散时间中，因为离散时间变量仅仅定义在整数值上。然而，离散时间的时间扩展的概念(即在离散时间序列x[n]的各个值之间插入若干零值)还是可以定义的，并且在离散时间信号与系统分析中起着重要的作用。这就是5.3.7节所介绍的x(k)[n]，其定义为

零插值时域扩展它在原有序列x[n]的各连续值之间插人(k - 1)个零值序列，在这种情况下，若

这就是说，若z位于X(z)的收敛域内，那么z^1/k就在X(z^k)的收敛域内；同时，若X(z)有一个极点(或零点)在z=a，那么X(z^k)就有一个极点(或零点)在z = a^1/k。

这一结果的解释由z变换的幂级数形式可直接得出，由这个幂级数可见，z^-n项的系数就等于序列在时刻n的值。也就是说，由于

立即可得

仔细检查式(10.78)的右边可见，仅仅能出现的是具有z^-kn的那些项；即z^-m项的系数；若m不是k的整倍数，则为0，而若m是k的整倍数，则等于x[m/k]。因此，式(10.78)的逆变换就是x(k)[n]。

10.5.6 共轭

结果，若x[n]是实序列，就可由式(10.80)得到

因此，若X(z)有一个z=z0的极点(或零点)，那么就一定有一个与z共轭成对的z=z0*的极点(或零点)。

例如，在例10.4中实序列x[n]的z变换X(z)就有一对共轭成对的极点z=(1/3)e^±jπ/4。

10.5.7 卷积性质

与拉普斯变换的卷积性质一样，X1(z)X2(z)的收敛域包括R1和R2的相交部分。

如果在乘积中发生零极点相消，则收敛域可以扩大。z变换的卷积性质可以用不同的方法导出来。
一种正规的推导将在习题10.56中讨论。另一种方法也能把它导出来，这很类似于在4.4节对连续时间傅里叶变换的卷积性质所做的那样，依赖于把傅里叶变换看成一个复指数信号，通过一个线性时不变系统后，在该复指数信号的振幅上所给予的变化。

对于z变换，还有一种关于卷积性质的解释。根据式(10.3)的定义，将z变换看成一个z^-1的级数，其中z^-n的系数就是序列值x[n]。这样，实质上式(10.81)的卷积性质是：当两个多项式或幂级数X1(z)和X2(z)相乘时，代表该乘积的多项式的系数就是在多项式X1(z)和X2(z)中的系数的卷积(见习题10.57)。

【例15】线性时不变系统

收敛域等于整个平面，但不包括原点。同时在z=1有一个零点。

若

则

其收敛域等于R，但可能会除去z=0和/或增加z=1。

注意，这个系统有

这就是说，y[n]是序列x[n]的一次差分。因为一次差分运算一般被认为相当于离散时间情况下的“微分”，因此，式(10.83)也就可认为是9.5.7节讨论的拉普拉斯变换微分性质在z变换中所对应的性质。

【例16】累加器

Z变换

其收敛域至少包括R与|z|>1的相交部分。式(10.86)就是在9.5.9节得到的拉普拉斯变换积分性质在z变换中所对应的性质。

10.5.8 z域微分

只要将式(10.3)的z变换式两边对z进行微分，就可直接得出这个性质。作为应用该性质的一个例子，利用它对例10.14考虑的z变换求逆变换。

【例17】……

【例18】……

10.5.9 初值定理

只要考虑z变换表示式每一项的极限，利用n<0时x[n]=0的条件，就可以得出这个性质。由于这个限制，

随着z→∞，当n>0时，z^-n→0，而当n=0时，z^-n=1，于是得到式(10.95)。

对于一个因果序列，初值定理的一个直接结果就是：如果x[0]是有限值，那么就是有限值。结果，将X(z)表示成两个多项式之比，分子多项式的阶次不能大于分母多项式的阶次；或者说，零点的个数不能多于极点的个数。

【例19】初值定理也能够用于检验一个信号z变换计算中的正确性。例如，考虑例10.3的信号x[n]，由式(10.12)知道x[0] =1，同时，由式( 10.14)可知

这是与初值定理一致的。

10.5.10 性质小结

表10.1综合列出以上讨论的z变换性质

10.6 几个常用z变换对

与拉普拉斯逆变换一样，z逆变换往往也能够很容易地把X(z)表示成若干简单项的线性组合来求得。表10.2中列出了几个常用的z变换对。其中每一对都可以从前面举出的例子，再结合z变换的性质而导得。

例如变换对2和5直接由例10.1得出；变换对7则来自例10.18。有了这些，再结合分别由10.5.4节和10.5.2节建立的时间反转和时移性质，就可以导出变换对3、6和8。变换对9和10可以利用变换对2，再结合分别由10.5.1节和10.5.3节建立的线性和z域尺度变换性质而得到。

10.7 利用z变换分析与表征线性时不变系统

在离散时间线性时不变系统的分析和表示中，z变换有其特别重要的作用。根据10.5.7节的卷
积性质

其中X(z)，Y(z)和H(z)分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的z变换。

H(z)称为系统的系统函数（转移函数）。

只要单位圆在H(z)的收敛域内，将H(z)在单位圆上求值(即z=e^jω)，H(z)就变成系统的频率响应。

另外，从3.2节的讨论可知，若一个线性时不变系统的输入是复指数信号x[n]=z^n，那么输出一定是H(z)z^n；这就是说，z^n是系统的特征函数，其特征值由H(z)给出，而H(z)就是单位脉冲响应的z变换。

一个系统的很多性质都能够直接与系统函数的零极点和收敛域的性质相联系，这一节将通过讨论几个重要的系统性质和一类重要的系统来说明这些关系。

10.7.1 因果性

一个因果线性时不变系统的单位脉冲响应h[n]，当n<0时h[n]=0，因此是一个右边序列。由10.2节的性质4知道H(z)的收敛域位于z平面内某个圆的外边。

对于某些系统，例如，若h[n]=δ[n]，而有H(z)=1，则收敛域可以延伸至所有地方，并可能包括原点。

同时，一般来说，对于一个右边序列，它的收敛域可以“包括或者不包括”无限远点。例如，若h[n]=δ[n+1]，那么H(z)=z，它在无限远点有一个极点。

然而，根据10.2节性质8，对于一个因果序列，这个幂级数中，

不包含任何z的正幂次项（n从0开始的右边序列），因此收敛域包括无限远点。

综合上述，就得出如下属性。

因果性：从n=0开始的右边序列——因果序列是特殊的右边序列

收敛域在一个圆外→右边序列

收敛域在一个圆外&包括无穷远点→因果序列

无穷远处不收敛→包含正幂项→非因果

如果H(z)是有理的，那么由10.2节的性质8，该系统若要是因果的，其收敛域必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在收敛域内；等效地说，随z→∞时，H(z)的极限必须是有限的。正如10.5.9节所讨论的，这就等效于，当H(z)的分子和分母都表示成z的多项式时，其分子的阶次不会高于分母的阶次，即

【例20】……

【例21】……

10.7.2 稳定性

2.3.7节曾讨论过，一个离散时间线性时不变系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的。在这种情况下，h[n]的傅里叶变换收敛，结果就是H(z)的收敛域必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：

【例22】再次考虑式(10.97)的系统函数

因为与其有关的收敛域是|z|>2，它不包括单位圆，所以系统不是稳定的。这一点也能从它的单位脉冲响应式(10.99)不是绝对可和的看出来。然而，如果一个系统的系统函数和式(10.97)有相同的代数表示式，但收敛域位于1/2<|z|<2，那么收敛域就包括单位圆，这样对应的系统就是非因果的，但是稳定的。在这种情况下，利用表10.2中的变换对5和6，可求得相应的单位脉冲响应是

它是绝对可和的。

第三种可供选择的收敛域是|z|<1/2，这时系统既不是因果的(因为收敛域不是在最外层极点的外边)，又不是稳定的(因为收敛域不包括单位圆)。这也能从它的单位脉冲响应中看出，利用表10.2中的变换对6，可求得为

正如在例10.22中所表示的，一个系统是稳定的，但不是因果的，这是完全可能的。然而，如果仅集中在因果系统上，那么系统的稳定性就很容易通过检查极点的位置来验证。对于一个具有有理系统函数的因果系统而言，收敛域位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的收敛域，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即

【例23】……

【例24】……

10.7.3 由线性常系数差分方程表征的线性时不变系统

对于由线性常系数差分方程表征的系统，z变换的这些性质对于求得系统的系统函数、频率响应或时域响应等，都提供了一个特别方便的方法。现用一个例子来说明。

【例25】

作z变换

系统函数

该式给出了H(z)的代数表示式，但没有收敛域。事实上有两种不同的单位脉冲响应都与这个差分方程相符，一个是右边的，另一个是左边的。相应地，式(10.104)就有两种不同的收敛域选择：一个是|z|>1/2，它是与h[n]为右边的假设有关的收敛域；另一个是|z|<1/2，它是与h[n]为左边的假设有关的收敛域。

首先考虑收敛域选为|z| > 1/2。将H(z)写成

利用表10.2中的变换对5，再结合线性和时移性质，就能求得相应的单位脉冲响应为

对于另一种收敛域的选择，即|z|<1/2，可利用表10.2中的变换对6，再结合线性和时移性质，求得

这种情况下，该系统是反因果的(n>0时h[n] =0)，并且是不稳定的。

对于一般的N阶差分方程，可以用类似于例10.25的方法进行，即对方程两边进行z变换，并利用线性和时移性质。

现考虑一个线性时不变系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：

在式(10.105)两边取z变换，并利用线性和时移性质可得

这样就有

特别要注意，一个满足线性常系数差分方程的系统，其系统函数总是有理的。另外，与前面所举的例子及与拉普拉斯变换有关讨论相一致的是，差分方程本身也没有提供关于与代数表示式H(z)有关的收敛域的信息。因此，诸如因果性、稳定性之类的附加限制，应该用来作为标定收敛域的条件。

例如，如果知道系统是因果的，收敛域就一定位于最外层极点的外边；如果系统是稳定的，收敛域就一定包括单位圆。

10.7.4 系统特性与系统函数的关系举例

正如在前面几节所说明的，离散时间线性时不变系统的很多性质都能直接与系统函数及其特性有关。这一节将给出另外几个例子来表明z变换是如何用于系统分析的。

【例26】……

【例27】……

10.8 系统函数的代数属性与方框图表示

和连续时间的拉普拉斯变换一样，离散时间中的z变换也能将时域中诸如卷积和时移等运算用代数运算来代替。这一点已经在10.7.3节中应用过了，在那里将一个线性时不变系统的差分方程描述用一个代数方程描述来代替。将系统描述转换到代数方程的z变换的这种作用在分析线性时不变系统的互联，以及用基本系统的构造单元的互联来综合出其他系统时也是很有帮助的。

10.8.1 线性时不变系统互联的系统函数

对于分析像级联、并联和反馈互联这些离散时间方框图的系统函数方面的代数问题，与9.8.1节对应的连续时间系统是完全一样的。例如，两个离散时间线性时不变系统级联后的系统函数是各自系统函数的乘积。同时，考虑图10.17所示的两个系统的反馈互联问题，也是要确定整个系统的差分方程或单位脉冲响应这样一些在时域中的关系。

然而，由于系统和序列都是用它们的z变换来表示的，分析中仅涉及代数方程。对于图10.17互联系统的具体方程完全可采用与式(9.159)到式(9.163)相并行的步骤，得出该反馈互联后总的系统函数为

10.8.2 由差分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统的方框图表示

与9.8.2节一样，可以用三种基本运算：相加、乘以系数、单位延时的方框图来表示由差分方程描述的因果线性时不变系统。2.4.3节曾对一阶差分方程描述过这样的方框图。现在首先再回到那个例子，这次是用系统函数的代数属性，然后再考虑其他稍许复杂一些的例子来说明构成方框图表示中的一些基本概念。

【例28】考虑系统函数

差分方程

具有初始松弛条件。2.4.3节曾对这种形式的一阶系统构造出一种方框图表示，图10.18(a)示出一种等效的方框图表示(相应于图2.28中的a = -1/4和b=1)，其中z^-1是单位延时的系统函数。也就是说，由时移性质，这个系统的输入和输出是由

所表示的。图10.18(a)的方框图中包括一个反馈回路，它很像上一节中考虑的系统并画在图10.17中。事实上稍加变化就能得到图10.18(b)所示的等效方框图，这就与图10.17所示的完全一样了，其中H1(z)=1且H2(z)=(-1/4)z^-1。应用式(10.115)就能证实图10.18的系统函数是由式(10.116)给出的。

【例29】因果LTI系统函数

按式(10.117)所建议的，可以将系统看成系统函数为1/[1-(1/4)z^-1]和另一系统函数为(1-2z^-1)的系统级联。在图10.19(a)中指出了这种级联实现，图中已经用了图10.18(a)的方框图来表示1/[1-(1/4)z^-1]，并且用一个单位延时、一个加法器和一个系数相乘器来表示(1-2z^-1)。

根据时移性质，系统函数为(1-2z^-1)的系统，其输入v[n]和输出y[n]是由下列差分方程相联系的：

尽管图10.19(a)的方框图确实是式(10.117)所示系统的一个正确表示，但是这个方框图不够经济。为了看出这一点，注意图10.19(a)中这两个单位延时单元的输入都是v[n]，因此它们的输出都是相同的，即

这样就没必要保留两个延时单元，只需用它们中的一个为两个系数相乘器提供输入信号。这个结果就是图10.19(b)的方框图表示。因为每个单位延时单元都要求一个存储寄存器来保留它的输入中的前一个值，所以图10.19(b)比图10.19(a)的表示需要用较少的存储器。

【例30】二阶系统函数

差分方程

利用和例10.28相同的思路，可得该系统的方框图表示如图10.20( a)所示。

因为在图中系统函数为z^-1的两个方框都是单位延时，因此有

这样式(10.119)可重写成

或者

这就和图中的表示完全一样了。

图10.20(a)的方框图一般称为直接型表示，因为出现在方框图中的系数可以直接根据出现在差分方程或系统函数中的系数来确定。另外，与连续时间系统一样，对系统函数略作代数运算，就能得到级联型方框图和并联型方框图。具体而言就是将式(10.118)重写成

该式的级联型表示如图10.20(b)所示，图中系统是用式(10.120)中代表两个因式的系统级联来表示的。

同样，将式(10.118)进行部分分式展开，可得

这样就得到了图10.20(c)的并联型表示。

【例31】最后，考虑系统函数

写成

该式就代表了用图10.20(a)的系统与系统函数为的系统的级联表示。然而，与例10.29一样，为实现在式(10.122)第一项所需的这些单位延时单元，也产生了在计算第二个系统输出时所要求的延时信号，这个结果就是图10.21所示的直接型方框图，有关它的一些构成细节将在习题10.38中讨论。在直接型表示中的这些系数可以直接由式(10.121)的系统函数中的系数来确定。

H(z)也能写成如下形式：

和

由式(10.123)可以想到一种级联型表示，而式(10.124)可以导致一种并联型表示，这些都将在习题10.38中考虑。

在前面几个例子中用到的有关构造方框图表示的一些概念，都能够直接用到高阶系统中，在习题10.39中将考虑几个例子。与连续时间情况相同，在具体进行时一般都有很大的灵活性。例如，在式(10.123)的乘积表示中，分子和分母的因式如何配对；对每一个因式以什么方式来实现；以及这些因式的级联次序等都有很大的选择余地。尽管所有这些变化都会导致同一个系统表示，但实际上这些不同方框图的性能还是有差别的。具体而言，一个系统的每一种方框图表示，对于系统实现来说都能直接转换为一个计算机算法，然而由于计算机的有限字长，要对方框图中的这些系数进行量化，又由于在算法运算过程中会有数值上的舍入，内此每一种方框图表示所引进的算法仅仅是对原系统特性的一种近似。然而，每种近似中的误差或多或少是不同的。由于这些差别，借助于对量化效应的准确度和灵敏度，以对各种不同的方框图表示进行相对的评价，在这一方面已经做了极大的努力。有关这一专题的讨论，读者可查阅书末参考文献中有关数字信号处理方面的参考书。