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【MATLAB去噪算法】基于VMD联合小波阈值去噪算法(第六期)

news 来源：原创 2025/6/18 14:18:04

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（注：目前比较火热，应用该套代码结合实际工程可发较好的期刊）

一、VMD算法

传统经验模态分解（EMD）及其衍生方法（如EEMD、CEEMD）在解决非线性非平稳信号分解时，存在依赖于信号极值点、抗噪性有限以及对模态混叠（即信号成分在不同本征模态函数IMF中出现碎片化或重叠分布）改进仍不彻底等问题。为从根本上克服这些局限，并寻求更鲁棒、更具数学基础的分析框架，Dragomiretskiy和Zosso于2014年提出了变分模态分解（VMD）。VMD摒弃了EMD的递归筛选思路，创新性地将信号分解问题转化为变分优化问题，其核心思想是通过预设IMF的带宽限制，并联合优化所有模态及其中心频率，实现信号在变分框架下的自适应、准正交分解。

VMD的主要优势在于：其一，通过严格的数学模型（维纳滤波、希尔伯特变换、频率混合）约束每个IMF的紧致性（有限带宽），从理论上避免了模态混叠的产生；其二，对噪声的鲁棒性显著增强，分解稳定性优于EMD类方法，尤其在处理低信噪比信号时表现更佳；其三，分解过程是非递归的、可全局收敛的，结果具有唯一性，避免了EMD对端点效应和筛选停止准则的敏感性。数值实验及广泛应用（如故障诊断、生物医学信号处理、金融时间序列分析）证明，VMD能够有效提取信号的物理本质特征，在重构精度、模态分离度及计算效率上展现出优越性，为非线性非平稳信号处理提供了新的理论工具和更可靠的技术途径。

变分模态分解（VMD）是一种以经典维纳滤波、希尔伯特变换和频率混合这三个概念为基础的变分问题求解方法，该方法将原信号分解成K个IMF分量。其中把模态函数定义为一个调频调幅信号，记为：

(1)利用Hilbert变换计算得到每一个模态分量信号对应解析信号，得到其单边频：

(2)进一步加入指数项模态函数对应解析信号的预估中心频率，将每个模态的频谱转移至基带:

(3)变分模态分解可写成如下含有约束的最优化问题：

(4)引入二次惩罚因子和增广Lagrange函数，解决上述约束变分问题，将变分问题转变为非约束性变分问题，组成扩展的Lagrange表达式:

(5)得到约束变分模型的最优解：

变分模态分解的算法的具体流程，如图所示：

二、小波阈值去噪

小波阈值去噪方法是由Donoho提出的，其实质是抑制信号中无用部分、增强有用部分的过程。小波阈值去噪过程如图所示。

影响小波阈值去噪效果主要有以下三个方面的因素：

①去噪效果也依赖于阈值的选取，如果阈值选取过小，会导致去噪效果不理想，如果阈值选取过大当会导致消除部分有效信号。

②在小波分解、重构这两个步骤中，小波基类型的不同直接影响信号的分解和重构的效果，决定了去噪后信号的质量好坏；

③分解层数一般根据信号特性和经验事先进行选择，但这样得到的只能是固定值，往往去噪效果不佳，因此最优分解层数是小波阈值去噪算法性能的关键指标之一；

(1)小波阈值的选取准则

在小波阈值去噪的过程中，小波阈值选取准则的确定是一个关键的步骤，小波阈值的选取方法一般包括无偏风险估计阈值、固定阈值、启发式阈值、以及极大极小阈值等四种准则，该四种阈值选取准则如表1所示。

无偏风险阈值主要针对噪声近似于加性高斯白噪，有固定的频谱，噪声强度比较大的情况，对高频信息保留较多，适用于高频信号。极大极小阈值不需要知道噪声方差，具有比较小的噪声依赖性，更适合于低信噪比信号滤波去噪。固定阈值在工程上应用较多，在噪声较多时降噪效果明显。启发式阈值是无偏风险估计阈值和固定阈值的综合，可以在保留更多高频信息的前提下得到更好的去噪。无偏风险估计阈值和极大极小阈值都比较保守，可以将微弱的信号提取出来，但去除噪声的效果往往不佳。固定阈值和启发式阈值去噪比较彻底，而桥梁的环境振动固有频率比较低，因此相比启发式阈值，使用固定阈值准则在去噪时显得更为有效。同时王海波[14]等认为对于桥梁振动信号来说，使用固定式阈值选取准则去噪相对于其余三种准则有明显的优势，因此本文选用固定式阈值估计方法对桥梁信号进行去噪处理。

(2)小波阈值函数选

根据软、硬阈值函数的定义可以发现：硬阈值函数是保留高于设定阈值的小波系数，将各个空间低于阈值的小波系数置零；软阈值函数是将小波系数按照设定的固定量收缩然后由新的小波系数重构得到去噪后的信号，使用软阈值函数去噪后的信号具有更好的平滑性与连续性。因此，本文选择软阈值函数来对桥梁信号进行去噪。

(3)小波基函数的选择

对信号进行去噪时，小波基函数一般都是通过经验去选取，往往难以选择到最优的小波基函数。童敏明等提出通过信噪比来判断小波基函数的选取是否最优。这种方法以去噪之后的信号与原始信号的接近程度来衡量去噪效果，接近程度最大时的小波基就是最优小波基。

(4)小波分解层数的选择

小波的分解层数一般都是通过经验去选取，而采用固定的分解层数，必然有其局限性。用不同分解层数对信号进行分解时，发现分解层数越多，去掉的桥梁信号中的噪声也会越多，但是超过某个临界值时，就会将信号中有用的部分滤除。因此，随着分解层数的增加，去噪后的信号的信噪比会出现一个先上升后下降的趋势。根据不同分解层数的去噪后信号信噪比的峰值，可以推算出小波分解层数，使信号特征量完全展现出来。

三、VMD联合小波阈值去噪流程

代码流程如下：

本算法结合变分模态分解（VMD）的频带自适应性、噪声分离能力以及小波阈值去噪在精细噪声抑制方面的优势，实现对含噪信号的有效去噪。其核心流程分为四个部分：

第一部分：VMD信号分解

首先，应用变分模态分解（VMD） 算法对输入的原始含噪信号进行自适应分解。VMD的核心思想是将信号分解转化为一个变分优化问题，通过求解约束变分模型，将原始信号同步、自适应地分解为一系列具有中心频率和有限带宽的本征模态函数。这些分量在频域具有更优的紧致性和正交性特点。在分解前，需要预先设定两个关键参数：模态分量数 K（决定分解出的IMF数量）和惩罚因子 α（控制带宽大小和分解保真度）。合理的 K 值选择至关重要，它直接影响噪声与有效信号的分离效果。过多会引入虚假分量，过少则导致信号成分混杂。VMD通过迭代搜寻变分模型的最优解，最终输出一系列中心频率由高到低（或由低到高可设）排列的IMFs。相较于传统EMD类方法，VMD能更有效地抑制模态混叠，并倾向于将高频噪声能量更集中地分离到特定阶数的IMF中，为后续噪声识别奠定了良好基础。