P2834 纸币问题 3

题目背景

你是一个非常有钱的小朋友。

注意： 本题和《进阶篇》的对应题目，输入格式略有差异。

题目描述

你有 $n$ 种面额互不相同的纸币，第 $i$ 种纸币的面额为 $a_i$ 并且有无限张，现在你需要支付 $w$ 的金额，请问有多少种纸币组合能恰好支付金额 $w$，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行两个正整数 $n,w$，分别表示纸币的种数和要凑出的金额。
第二行一行 $n$ 个以空格隔开的正整数 $a_1,a_2,\dots a_n$ 依次表示这 $n$ 种纸币的面额。

输出格式

一行一个整数，表示能恰好凑齐面额 $w$ 的纸币组合数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 15
1 5 10 20 50 100

输出 #1

6

输入输出样例 #2

输入 #2

3 15
1 5 11

输出 #2

5

说明/提示

对于 $40\%$ 的数据，满足 $n\le 10$，$w\le 100$；
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^3$，$1\le a_i\le w\le 10^4$。

其实小朋友并不有钱。

同 P2842 纸币问题 1 和 P2840 纸币问题 2。
考虑 dp 做法，令 dp[i] 为凑齐金额 i 的币种组合数，
状态转移方程：$dp[i]=dp[i-a[j]]$，$a[j]$表示第 j 种纸币。
与前两题不同，这里求的是组合数，由于组合不考虑顺序，故我们希望在更新dp——即当前子问题时已有组合中不包括当前讨论的面额。在代码中的表现即为外层遍历纸币面额，内层遍历从 1 到 w 的金额。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n, w;cin >> n >> w;vector<int> a(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> a[i];}const int MOD = 1e9+7;vector<int> dp(w + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) { // 外层遍历纸币面额for (int x = 1; x <= w; ++x) {if (a[i] <= x && dp[x - a[i]] < MOD) {dp[x] = (dp[x] + dp[x - a[i]]) % MOD;}}}cout << dp[w] << "\n";return 0;
}