当前位置：首页 > news >正文

在Mathematica环境中做数值实验来观察逻辑映射的复杂度

news 来源：原创 2025/6/10 11:13:02

考虑这样的映射

其中\lambda是参数。关于这个映射，主要考察三个问题：

（1）对于给定的\lambda，自迭代此映射的收敛集是什么？

（2）对于不同的\lambda，相应的收敛集合是怎样变化的？

（3）临界的\lambda是怎样确定的？

这里，将展示如何通过数值实验来考察前面两个问题。首先，对于不同的\lambda，将展示相应的收敛过程。

Logistic[\[Lambda]_, x_] := \[Lambda] x (1 - x^2)CobWeb[\[Lambda]_, it_] := Module[{iter =  Logistic[\[Lambda], it]},Line[{{it, it}, {it, iter}, {iter, iter}}]]Plotter[\[Lambda]_, xo_, n_] :=Plot[Logistic[\[Lambda], x], {x, 0, 1},PlotRange -> {0, Max[\[Lambda]/2 + 0.01, 0.5]},Epilog -> {Line[{{0, 0}, {1, 1}}],Map[(CobWeb[\[Lambda], #] &), NestList[(Logistic[\[Lambda], #] &), xo, n]]}]

Plotter[0.9, 0.5, 10]

Plotter[1.8, 0.42, 30]

Plotter[2.1, 0.1, 100]

Plotter[2.46, 0.17, 100]

对比上面的几幅图，可以得知：随着参数\lambda变大，收敛集合是间断性变大的。由于是在有限次实验情况下观测的，收敛集合不是真正意义下的收敛集，只是近似的。为了观测收敛集合的情况，可以做很多次实验，观察末尾一定数量的点集合，然后观看随着参数\lambda的变化，这个尾集合是怎样变化的。

Bifurcation diagram

scatter[\[Lambda]_] :=Map[Point[{\[Lambda], #}] &,Take[NestList[Logistic[\[Lambda], #] &, 0.1, 1000], -128]]bifurpoints[min_, max_, n_] := {PointSize[0.003],Table[scatter[\[Lambda]], {\[Lambda], min, max, (max - min)/n}]};

Show[ Graphics[bifurpoints[1.5, 3, 200], Frame -> True] ]