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《高等数学》（同济大学·第7版）第三章第三节“泰勒公式“

news 来源：原创 2025/6/9 9:02:07

好的，同学们！今天我们要一起探讨《高等数学》第三章第三节"泰勒公式"的内容。作为北京大学数学科学学院的教授，我会用最清晰、最系统的方式带大家理解这个微积分中最重要的工具之一。（请准备好纸笔，随时跟着我一起推导）

一、泰勒公式的起源与核心思想

1. 为什么要学习泰勒公式？

实际需求：计算器如何计算sin(0.1)、ln(1.2)等函数值？
数学本质：用多项式逼近复杂函数（多项式是最简单的函数类）
应用价值：物理近似、工程计算、误差估计等

2. 基本思路：逐步逼近

想象用越来越复杂的多项式来"模仿"一个函数：

先用常数近似
加上一次项改进
加入二次项调整曲率
以此类推…

二、泰勒多项式的详细构造过程

1. 零阶近似（常数逼近）

形式：P₀(x) = f(x₀)
特点：仅保证在x₀点函数值相同
几何意义：水平直线
例子：eˣ在x₀=0处 → P₀(x)=1

2. 一阶近似（线性逼近）

形式：P₁(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x-x₀)
推导：
1. 设P₁(x) = a₀ + a₁(x-x₀)
2. 要求P₁(x₀)=f(x₀) ⇒ a₀=f(x₀)
3. 要求P₁’(x₀)=f’(x₀) ⇒ a₁=f’(x₀)
几何意义：函数切线
例子：eˣ → P₁(x)=1+x

3. 二阶近似（抛物线逼近）

形式：P₂(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x-x₀) + f’'(x₀)(x-x₀)²/2!
推导：
1. 设P₂(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)²
2. 新增条件P₂’‘(x₀)=f’‘(x₀) ⇒ 2a₂=f’'(x₀)
几何意义：匹配曲率
例子：eˣ → P₂(x)=1+x+x²/2

4. n阶泰勒多项式

一般形式：
Pₙ(x) = Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(x₀)/k!ᵏ
系数确定：
aₖ = f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! （通过令Pₙ⁽ᵏ⁾(x₀)=f⁽ᵏ⁾(x₀)推导得出）

三、泰勒公式的完整表述

1. 带佩亚诺余项的形式

f(x) = Pₙ(x) + o((x-x₀)ⁿ)

适用条件：f(x)在x₀点n阶可导
特点：仅定性描述误差阶数

2. 带拉格朗日余项的形式

f(x) = Pₙ(x) + Rₙ(x)
Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)! （ξ在x₀与x之间）

适用条件：f(x)在x₀邻域内n+1阶可导
特点：可定量计算误差

四、麦克劳林公式（x₀=0的特殊情形）

重要展开式（必须熟记）

eˣ = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ)
sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - … + (-1)ᵐx²ᵐ⁺¹/(2m+1)! + o(x²ᵐ⁺²)
cosx = 1 - x²/2! + x⁴/4! - … + (-1)ᵐx²ᵐ/(2m)! + o(x²ᵐ⁺¹)
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - … + (-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n + o(xⁿ)
(1+x)ᵃ = 1 + ax + a(a-1)x²/2! + … + a(a-1)…(a-n+1)xⁿ/n! + o(xⁿ)

五、泰勒公式的应用方法

1. 直接展开法

步骤：

计算f(x₀), f’(x₀), …, f⁽ⁿ⁾(x₀)
代入泰勒公式

例题：求f(x)=lnx在x₀=1处的三阶泰勒展开
解：
f(1)=0, f’(1)=1, f’‘(1)=-1, f’‘’(1)=2
⇒ lnx ≈ (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3

2. 间接展开法

常用技巧：

变量替换
逐项积分/求导
多项式乘法

例题：求∫eˣ² dx的三阶近似
解：
先用eᵘ≈1+u+u²/2+u³/6，令u=x²
⇒ eˣ²≈1+x²+x⁴/2+x⁶/6
⇒ ∫eˣ²dx ≈ x + x³/3 + x⁵/10 + x⁷/42

六、误差估计的详细方法

1. 拉格朗日余项估计

步骤：

确定展开阶数n
计算f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)的界
代入余项公式

例题：估计e的近似值误差（用五阶麦克劳林多项式）
解：
P₅(1)=1+1+1/2+1/6+1/24+1/120≈2.71667
R₅(1)=e^ξ/6! (0<ξ<1) < e/720 < 3/720 ≈ 0.00417
（实际误差：e-2.71667≈0.00162）

2. 佩亚诺余项分析

主要用于极限计算：
lim_(x→0) (eˣ-1-x)/x² = lim_(x→0) (1+x+x²/2+o(x²)-1-x)/x² = 1/2

七、泰勒公式的几何意义

1. 局部逼近的动态过程

零阶：水平线
一阶：切线
二阶：抛物线拟合曲率
高阶：逐步贴合函数形状

八、常见误区与注意事项

错误类型	正确做法
混淆展开点x₀	明确区分x₀和变量x
余项阶数错误	n阶展开余项是o((x-x₀)ⁿ)或含(x-x₀)ⁿ⁺¹
忽略收敛域	如ln(1+x)仅在
导数计算错误	高阶导数要仔细计算

九、典型例题详解

例题1：求f(x)=√x在x₀=1处的三阶泰勒展开

解：
f(x)=x¹ᐟ², f(1)=1
f’(x)=1/2·x⁻¹ᐟ², f’(1)=1/2
f’‘(x)=-1/4·x⁻³ᐟ², f’‘(1)=-1/4
f’‘’(x)=3/8·x⁻⁵ᐟ², f’‘’(1)=3/8
⇒ √x ≈ 1 + (x-1)/2 - (x-1)²/8 + (x-1)³/16

例题2：用泰勒公式证明e是无理数

证明思路：
假设e=p/q，取n>q的泰勒展开：
e = 1 + 1 + 1/2! + … + 1/n! + e^ξ/(n+1)!
两边乘n!导出矛盾

十、现代应用实例

物理建模：量子力学微扰论
工程计算：有限元分析
机器学习：损失函数优化
图像处理：非线性滤波

泰勒公式在人工智能（AI）和量化金融领域有着广泛而深入的应用，其核心价值在于通过多项式逼近复杂函数，实现高效计算、优化和预测。以下是具体应用场景及实例分析：

一、在人工智能中的应用

优化算法
- 梯度下降法：基于泰勒一阶展开（ $\approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ ），仅利用梯度信息更新参数：
  $\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - \alpha \nabla f(\theta_{\text{old}})$
- 牛顿法：基于泰勒二阶展开，引入海森矩阵（Hessian）提高收敛速度：
  $\theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} - [H(f(\theta_{\text{old}}))]^{-1} \nabla f(\theta_{\text{old}})$
  优势：在凸优化问题中收敛更快，尤其适用于曲率变化剧烈的函数。
损失函数近似
- XGBoost：使用泰勒二阶展开近似损失函数，加速决策树构建：
  $\text{Loss}(y, F(x)+h(x)) \approx \text{Loss}(y, F(x)) + \partial \text{Loss} \cdot h(x) + \frac{1}{2} \partial^2 \text{Loss} \cdot h^2(x)$
  其中 $F (x)$ 为当前模型， $h (x)$ 为新增树模型。
激活函数优化
- 复杂激活函数（如sigmoid、tanh）可用泰勒多项式近似，减少指数运算开销。例如：
  $\text{sigmoid}(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{x}{4} - \frac{x^3}{48} \quad (\text{三阶展开})$
  适用于硬件资源受限的场景。
模型解释性
- 通过局部泰勒展开，将黑盒模型（如神经网络）近似为多项式形式，分析输入特征对输出的影响（如LIME方法）。

二、在量化金融中的应用

衍生品定价
- 期权定价：对Black-Scholes模型中的非线性项进行泰勒展开，简化计算。例如，隐含波动率曲面可通过泰勒展开局部线性化。
- 利率模型：泰勒展开用于近似远期利率曲线，构建利率期限结构模型（如Hull-White模型）。
风险管理
- 风险指标计算：对投资组合价值函数 $V (P)$ 进行泰勒展开，估算VaR（风险价值）：
  $\Delta V \approx \nabla V \cdot \Delta P + \frac{1}{2} \Delta P^T \cdot H_V \cdot \Delta P$
  其中 $\nabla V$ 为梯度（Delta风险）， $H_V$ 为海森矩阵（Gamma风险）。
高频交易
- 对价格时间序列进行局部泰勒展开，预测短期价格波动。例如：
  $P(t+\Delta t) \approx P(t) + P'(t)\Delta t + \frac{P''(t)}{2} \Delta t^2$
  结合卡尔曼滤波可提升预测精度。
投资组合优化
- 对收益-风险函数进行二阶展开，转化为二次规划问题，快速求解最优权重分配。