隐函数 因变量确定标准

涉及多元隐函数求导法的逻辑本质：当我们对隐函数关系 $F(x,y,z)=0$ 使用偏导法求 $\frac{\partial z}{\partial x}$时，为什么「偏导」能确定谁是因变量？为什么只有当对 $z$ 的偏导 $F_z\ne 0$ 时，才能解出 $z$ 对 $x$、$y$ 的偏导？

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🔧 一、背景问题：隐函数形式

给定隐函数：

$$F(x,y,z)=0$$

想把 $z$ 看作 $x,y$ 的函数：$z=z(x,y)$

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🔍 二、因变量的确定标准 —— 隐函数定理

✅ 核心结论：

若 $F$ 在某点可微，且

$$\frac{\partial F}{\partial z}\ne 0$$

则存在局部函数 $z=z(x,y)$，使得 $F(x,y,z(x,y))=0$ 成立。

📌 这意味着你可以在局部将 $z$ 解出来，从而将 $z$ 视为因变量。

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✍️ 三、通用偏导公式的来源

对两边对 $x$ 偏导：

$$\frac{d}{dx}F(x,y,z(x,y))=0$$

链式法则展开：

$$F_x+F_z\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$$

这个推导需要 $F_z\ne 0$，否则无法解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$！

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⚠️ 四、为什么 $F_z\ne 0$ 才能说明 $z$ 是因变量？

从微分角度理解：

• 如果 $F_z=0$，意味着在该点上，函数 $F$ 对 $z$ 不敏感，不随 $z$ 变化 ⇒ 无法从 $F(x,y,z)=0$ 中唯一确定 $z$。
• 这时，可能 $z$ 是自变量，而别的量是因变量，甚至系统无解或多解。

🧠 换句话说：

• 若 $F_z=0$，隐函数定理不成立，我们无法在这点上将 $z$ 表达为 $x,y$ 的函数。
• 所以我们也不能对 $z$ 求偏导数。

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📌 五、总结：通用偏导公式有效的前提

设 $F(x,y,z)=0$，则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

前提是：

• $F$ 连续可微；
• $F_z\ne 0$ ⇒ $z$ 是因变量；
• 隐函数定理保证 $z=z(x,y)$ 成立。

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