数列运算中的常见错因分析
前情概要
现在的学生在数列学习中常会犯错，有些错误自己还不太清楚原因，以下举例说明。
问题列举
例1、【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第17题】设数列 { a n } \{a_n\} {an}满足 a 1 = 2 a_1=2 a1=2， a n + 1 − a n = 2 n a_{n+1}-a_n=2^n an+1−an=2n；
(1).求数列 { a n } \{a_n\} {an}的通项公式。
错解列举 ：由于 a 1 = 2 a_1=2 a1=2，令 n = 1 n=1 n=1，由 a n + 1 − a n = 2 n a_{n+1}-a_n=2^n an+1−an=2n得到 a 2 − a 1 = 2 a_2-a_1=2 a2−a1=2，
即 a 2 = 4 = 2 2 a_2=4=2^2 a2=4=22；
同理 a 3 = a 2 + 2 2 = 8 = 2 3 a_3=a_2+2^2=8=2^3 a3=a2+22=8=23，
a 4 = a 3 + 2 3 = 16 = 2 4 a_4=a_3+2^3=16=2^4 a4=a3+23=16=24，
⋯ \cdots ⋯，
综上所述， a n = 2 n a_n=2^n an=2n。
错因分析：这种解法为不完全归纳法，故算理错误。
【正解】：由于 a n + 1 − a n = 2 n a_{n+1}-a_n=2^n an+1−an=2n；
当 n ≥ 2 n\ge 2 n≥2时， a n − a n − 1 = 2 n − 1 ， a_n-a_{n-1}=2^{n-1}， an−an−1=2n−1，
a n − 1 − a n − 2 = 2 n − 2 ， a_{n-1}-a_{n-2}=2^{n-2}， an−1−an−2=2n−2，
⋯ ， ⋯ ， \cdots，\cdots， ⋯，⋯，
a 3 − a 2 = 2 2 ， a_3-a_2=2^2， a3−a2=22，
a 2 − a 1 = 2 1 ， a_2-a_1=2^1， a2−a1=21，
以上 n − 1 n-1 n−1个式子累加，得到
a n − a 1 = 2 1 + 2 2 + ⋯ + 2 n = 2 ⋅ ( 2 n − 1 − 1 ) 2 − 1 = 2 n − 2 a_n-a_1=2^1+2^2+\cdots+2^n=\cfrac{2\cdot (2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-2 an−a1=21+22+⋯+2n=2−12⋅(2n−1−1)=2n−2
即 a n − 2 = 2 n − 2 a_n-2=2^n-2 an−2=2n−2，故 a n = 2 n a_n=2^n an=2n，
当 n = 1 n=1 n=1时， a 1 = 2 a_1=2 a1=2满足上式，故 a n = 2 n ( n ∈ N ∗ ) a_n=2^n(n\in N^*) an=2n(n∈N∗)；
(2).证明：数列 { a n } \{a_n\} {an}为等比数列。
分析：由于 a n + 1 − a n = 2 n a_{n+1}-a_n=2^n an+1−an=2n；
当 n ≥ 2 n\ge 2 n≥2时， a n − a n − 1 = 2 n − 1 ， a_n-a_{n-1}=2^{n-1}， an−an−1=2n−1，
a n − 1 − a n − 2 = 2 n − 2 ， a_{n-1}-a_{n-2}=2^{n-2}， an−1−an−2=2n−2，
⋯ ， ⋯ ， \cdots，\cdots， ⋯，⋯，
a 3 − a 2 = 2 2 ， a_3-a_2=2^2， a3−a2=22，
a 2 − a 1 = 2 1 ， a_2-a_1=2^1，