当前位置：首页 > news >正文

2025年五一数学建模竞赛A题-支路车流量推测问题详细建模与源代码编写(二)

news 来源：原创 2025/6/7 12:11:46

目前我们已经完成第一问的建模，现在我们开始对第二问开始建模分析。

问题重述与变量定义

问题2.考虑图2所示的道路，支路1和支路2的车流同时汇入主路5，支路3和支路4的车流同时汇入主路5，仅在主路5上安装了车流量监测设备A2，每2分钟记录一次主路的车流量信息，附件表2中提供了某天早上[6:58,8:58]时间段内主路5上的车流量数据。假设车辆从支路1和支路2的路口行驶到设备A2处的时间为2分钟，车辆从支路3和支路4的路口到达设备A2处的行驶时间忽略不计。

由历史车流量观测记录可知，在[6:58,8:58]时间段内，支路1的车流量稳定；支路2的车流量在[6:58,7:48]和[8:14,8:58]时间段内线性增长，在(7:48,8:14)时间段内稳定；支路3的车流量呈现先线性增长后稳定的趋势；支路4的车流量呈现周期性规律。

请建立数学模型，根据附件表2的数据推测支路1、支路2、支路3、支路4上的车流量，使用合适的函数关系来描述各支路上的车流量随时间t(t∈[0,59])的变化，并分析结果的误差。在表2.1中填入具体的函数表达式，在表2.2中分别填入7:30和8:30这两个时刻各支路上的车流量数值。
在这里插入图片描述

图2 问题2道路示意图
表2.1 问题2支路车流量函数表达式

支路1	支路2

支路3	支路4

表2.2 问题2支路车流量数值

时刻	支路1	支路2	支路3	支路4
7:30
8:30

问题2

问题重述与变量定义

1. 问题回顾

本题根据主路5流量观测数据，推断4条支路在不同时间段的流量函数，并给出指定时刻的流量数值。

2. 变量定义

$Q_5(t)$ ：主路5在t时刻的流量（已知）
$Q_1(t)$ ：支路1流量
$Q_2(t)$ ：支路2流量
$Q_3(t)$ ：支路3流量
$Q_4(t)$ ：支路4流量
$t$ ：以7:00为0点，每2分钟递增， $\in [0, 59]$

模型假设

流量单位均为标准车当量数；
流量守恒： $Q_5(t) = Q_1(t-1) + Q_2(t-1) + Q_3(t) + Q_4(t)$ （支路1/2有2分钟延迟，3/4无延迟）；
各支路流量函数形态见题干及历史规律；
各支路流量均为非负连续函数；
不考虑极端交通扰动及测量误差。

支路函数表达式建模与参数推断

1. 支路1：恒定流量

$Q_1(t) = C_1$

物理解释：某些支路早高峰始终车流稳定，适合用常数建模。
拟合方法：全区间内主路流量减去其余支路预测值，均值最小二乘拟合 $C_1$ 。

2. 支路2：分段线性 + 稳定

$Q_2(t) = \begin{cases} a_2 t + b_2, & t \leq t_1 \\ C_2, & t_1 < t \leq t_2 \\ a_3 t + b_3, & t > t_2 \end{cases}$

t1=24（对应7:48），t2=37（对应8:14）
拟合策略：
- 前段、后段用线性模型，稳定段用常数，三段参数用主路流量残差拟合。
连续性约束：各段交界点流量需连续。

3. 支路3：线性增长+稳定

$Q_3(t) = \begin{cases} a_4 t + b_4, & t \leq t_3 \\ C_3, & t > t_3 \end{cases}$

t3可目测/拟合
解释：很多支路在早高峰呈现线性递增，达到峰值后维持高位稳定。

4. 支路4：正弦型周期规律

$Q_4(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + D$

解释：部分支路（如环路、接驳）车流呈现明显周期波动。

5. 参数初步推断与函数定型

先初步目测周期（支路4）、分段点（支路2/3），再用主路流量和已知物理规律，整体拟合全部参数。
每一段都采用最小二乘法，非负性和连续性为约束条件。

Python分步建模与可视化

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
import matplotlib.pyplot as plt# 1. 读取主路数据
df2 = pd.read_excel('content_1747881767308.xlsx', sheet_name=1)
t = df2['时间 t (Time t)'].values  # t=0~59，每2min一条
Q5 = df2['主路5的车流量 (Traffic flow on the Main road 5)'].values# 2. 变量定义和时间段分割
# 支路1：恒定，支路2：三段（前后为线性，中间为常数），支路3：线性+常数，支路4：正弦型
t1 = 24  # 7:48对应t=24
t2 = 37  # 8:14对应t=37
t3 = 20  # 支路3拟设拐点，后续可微调
period = 30  # 支路4周期约为60分钟=30个2分钟# 3. 支路4：初步用sin拟合，周期型
def q4_func(params, t):A, w, phi, D = paramsreturn A * np.sin(w * t + phi) + D# 4. 支路2：三段
def q2_func(params, t):a2, b2, C2, a3, b3 = paramsres = np.zeros_like(t, dtype=float)# 前段idx1 = t <= t1res[idx1] = a2 * t[idx1] + b2# 中段idx2 = (t > t1) & (t <= t2)res[idx2] = C2# 后段idx3 = t > t2res[idx3] = a3 * t[idx3] + b3return res# 5. 支路3：线性+常数
def q3_func(params, t):a4, b4, C3 = paramsres = np.zeros_like(t, dtype=float)idx = t <= t3res[idx] = a4 * t[idx] + b4res[~idx] = C3return res# 6. 支路1：常数
def q1_func(C1, t):return np.full_like(t, C1, dtype=float)# 7. 综合拟合函数
def full_model(params, t):# 支路参数解包C1 = params[0]a2, b2, C2, a3, b3 = params[1:6]a4, b4, C3 = params[6:9]A, w, phi, D = params[9:13]# 处理延迟t_delay = np.clip(t-1, 0, None)  # 支路1、2延迟2分钟（t-1），t<1时补0q1 = q1_func(C1, t_delay)q2 = q2_func([a2, b2, C2, a3, b3], t_delay)q3 = q3_func([a4, b4, C3], t)q4 = q4_func([A, w, phi, D], t)return q1, q2, q3, q4# 8. 损失函数
def loss(params, t, Q5):q1, q2, q3, q4 = full_model(params, t)Q5_pred = q1 + q2 + q3 + q4penalty = 1e5 * (np.abs(q1[q1<0]).sum() + np.abs(q2[q2<0]).sum() + np.abs(q3[q3<0]).sum() + np.abs(q4[q4<0]).sum())return np.concatenate([Q5_pred - Q5, [penalty]])# 9. 拟合
# 初值根据目测和物理意义设置
init_params = [10,      # C10.1, 5, 12,  # a2, b2, C2（前段斜率、截距，中段常数）-0.1, 10,    # a3, b3（后段斜率、截距）0.3, 2, 15,  # a4, b4, C3（支路3）4, 2*np.pi/period, 0, 10  # A, w, phi, D（支路4正弦）]result = least_squares(loss, init_params, args=(t, Q5), max_nfev=20000)
params = result.x# 拟合各支路
q1, q2, q3, q4 = full_model(params, t)
Q5_pred = q1 + q2 + q3 + q4# 10. 误差分析
residuals = Q5_pred - Q5
MSE = np.mean(residuals**2)
MAE = np.mean(np.abs(residuals))# 11. 可视化
plt.figure(figsize=(12,7))
plt.plot(t, Q5, label='主路5观测值', color='black', linewidth=2)
plt.plot(t, Q5_pred, label='主路5模型拟合', color='orange', linestyle='--')
plt.plot(t, q1, label='支路1 Q1', linestyle='--')
plt.plot(t, q2, label='支路2 Q2', linestyle='--')
plt.plot(t, q3, label='支路3 Q3', linestyle='--')
plt.plot(t, q4, label='支路4 Q4', linestyle='--')
plt.xlabel('时间t (min)')
plt.ylabel('车流量')
plt.title('主路与各支路流量拟合曲线')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()# 12. 输出关键时刻流量
def time_to_index(hh, mm):# 7:00为t=0，每2分钟一条return ((hh-7)*60 + mm)//2t_7_30 = time_to_index(7, 30)  # t=15
t_8_30 = time_to_index(8, 30)  # t=45
vals_7_30 = (q1[t_7_30], q2[t_7_30], q3[t_7_30], q4[t_7_30])
vals_8_30 = (q1[t_8_30], q2[t_8_30], q3[t_8_30], q4[t_8_30])print(f'7:30（t=15）时刻支路流量: Q1={vals_7_30[0]:.2f}, Q2={vals_7_30[1]:.2f}, Q3={vals_7_30[2]:.2f}, Q4={vals_7_30[3]:.2f}')
print(f'8:30（t=45）时刻支路流量: Q1={vals_8_30[0]:.2f}, Q2={vals_8_30[1]:.2f}, Q3={vals_8_30[2]:.2f}, Q4={vals_8_30[3]:.2f}')
print(f'MSE={MSE:.3f}, MAE={MAE:.3f}')# 13. 各支路单独曲线
fig, axes = plt.subplots(2,2,figsize=(14,8))
axes = axes.flatten()
axes[0].plot(t, q1, label='支路1 Q1'); axes[0].set_title('支路1 Q1(t)'); axes[0].legend(); axes[0].grid(True)
axes[1].plot(t, q2, label='支路2 Q2'); axes[1].set_title('支路2 Q2(t)'); axes[1].legend(); axes[1].grid(True)
axes[2].plot(t, q3, label='支路3 Q3'); axes[2].set_title('支路3 Q3(t)'); axes[2].legend(); axes[2].grid(True)
axes[3].plot(t, q4, label='支路4 Q4'); axes[3].set_title('支路4 Q4(t)'); axes[3].legend(); axes[3].grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()