《高等数学》（同济大学·第7版）第一章第五节《极限运算法则》

一、极限的四则运算法则

1. 加减法则：

   • 若lim f(x)=A，lim g(x)=B，则lim [f(x)±g(x)]=A±B
   • AI应用：神经网络中多个损失函数的叠加计算
   • 量化案例：投资组合收益=各资产收益的代数和

2. 乘法法则：

   • lim [f(x)×g(x)]=A×B
   • AI应用：计算梯度下降的动量项（β×历史梯度）
   • 量化案例：收益率计算=(最新价/买入价-1)×杠杆倍数

3. 除法法则：

   • 当B≠0时，lim [f(x)/g(x)]=A/B
   • AI应用：学习率衰减策略（初始学习率/epoch数）
   • 量化案例：夏普比率=收益率/波动率

二、复合函数极限法则

1. 链式法则：

   • 若lim g(x)=u0，lim f(u)=A（u→u0），则lim f(g(x))=A
   • AI应用：深层神经网络的反向传播计算
   • 量化案例：期权价格=f(标的资产价格，波动率，时间…)

2. 使用条件：

   • 内层函数极限存在
   • 外层函数在该点连续
     连续性的完整定义
     三重要求同时满足：

① 函数在该点有定义（即存在函数值）

② 函数在该点极限存在

③ 函数值=极限值（即lim f(x)=f(a)）

与定义域的区别：

有定义只是连续性的前提之一

连续是更强的条件，好比"不仅人在教室，还要认真听课"

三、极限存在性判定

1. 夹逼准则：

   • 若g(x)≤f(x)≤h(x)且lim g(x)=lim h(x)=A，则lim f(x)=A
   • AI应用：激活函数Sigmoid的值域夹逼在(0,1)
   • 量化案例：价格通道策略（布林带上下轨夹逼）

2. 单调有界准则：

   • 单调递增有上界（或递减有下界）的数列必收敛
   • AI应用：证明优化算法的收敛性
   • 量化案例：均值回归策略的价格边界判定

四、AI中的典型应用场景

1. 梯度计算：（应用：无穷大处理）
   场景：防止反向传播时梯度爆炸
   使用知识点：无穷大量的控制（梯度范数→∞时进行截断）

2. 自动微分中的微小量（应用：高阶无穷小忽略）
   场景：计算二阶导数时忽略O(Δx²)项
   使用知识点：高阶无穷小的比较与舍弃
   实现方式：仅保留一阶泰勒展开项

3. 学习率调度（应用：无穷小衰减）
   场景：训练后期学习率η→0
   使用知识点：η作为训练步数的无穷小量
   典型策略：η = η₀/(1 + kt)

五、量化交易中的应用实例

1. 高频交易订单薄分析（应用：夹逼准则）
   场景：买一卖一价差趋近于0
   使用知识点：lim(卖价) - lim(买价) → TickSize
   策略逻辑：当价差被市场压力夹逼到最小单位时触发

2. 期权希腊值计算（应用：复合函数求导法则）
   场景：Delta = ∂期权价格/∂标的资产价格
   使用知识点：链式法则求复合函数极限
   实际应用：动态对冲中的连续调仓

3. 统计套利价差收敛（应用：极限四则运算）
   场景：配对交易的价差均值回归
   使用知识点：lim(价差) = lim(股票A价格) - β×lim(股票B价格)
   风控条件：当|价差| > 2σ时触发交易

六、常见计算错误警示

1. 未定式陷阱：

   • 0/0型（如初学求导时）
   • ∞-∞型（如计算波动率差值时）

2. 复合函数条件：

   • 内层极限不存在时不能直接代入
   • 量化案例：跳跃行情中的极限订单失效

3. 运算顺序错误：

   • 先判断极限存在性再运算
   • AI案例：先计算各层梯度再相乘

七、跨领域综合案例

使用知识点：

第四节：TD误差δ作为无穷小量

第五节：Q_new = Q_old + αδ（极限加法法则）

公式表示：
Q(s,a) ← Q(s,a) + α[r + γmaxQ(s’,a’) - Q(s,a)]

波动率曲面建模（双重应用）

使用知识点：

第四节：远期波动率σ→0的特殊处理

第五节：三维曲面拟合的极限复合运算

实务操作：对lim_(T→0)σ(K,T)进行平滑约束

八、易错点警示
错误案例：忽略连续性条件

错误做法：在ReLU的死亡神经元处直接应用链式法则

正确做法：采用次梯度方法处理非连续点

错误案例：无穷小量误用

错误做法：将深度学习中的dropout率直接设为0

正确做法：保持极小量（如1e-3）避免除零错误

第六点的补充:

一、0/0型未定式错误案例

1. 典型错误做法：

   • 直接认为：lim(x→0) sinx/x = 0/0 = 1 ❌
   • 错误原因：将未定式当作普通除法运算

2. 正确处理方法：

   • 使用洛必达法则：
     lim(x→0) sinx/x = lim(x→0) cosx/1 = 1
   • 或用等价无穷小替换：
     sinx～x → 原式=lim x/x=1

3. AI训练中的实际案例：

   • 错误：初始化权重全零时出现0/0型梯度
   • 解决：Xavier初始化保证分母≠0

二、∞-∞型错误案例

1. 量化交易典型场景：

   • 计算：lim(x→∞)[√(x²+1) - x]
   • 错误做法：直接得∞-∞=0 ❌

2. 正确步骤：

   • 分子有理化：
     = lim [ (x²+1-x²)/(√(x²+1)+x) ]
     = lim 1/(√(1+1/x²)+1) = 1/2

3. 应用警示：

   • 期货跨期套利中，两个→∞的头寸不能直接相减

三、复合函数连续性错误

1. 错误案例：
   计算lim(x→0) arcsin(1-x²)

   • 错误：直接代入得arcsin(1)=π/2 ❌
   • 问题点：忽略arcsin(u)在u=1处不连续

2. 正确分析：

   • 由于1-x²→1⁻（从左侧趋近）
   • arcsin(1⁻)=π/2（实际应考察左极限）

3. 深度学习中的应用：

   • 当使用sigmoid输出层时，需确保输入值不会导致饱和区（即输出不趋近0/1）

四、四则运算顺序错误

1. 错误示范：
   计算lim(x→0)[ (x+x²)/x ]

   • 错误：先算x+x²→0，得0/x=0 ❌

2. 正确步骤：

   • 先分解：= lim(1 + x) = 1

3. 量化模型验证：

   • 计算夏普比率时：
     错误：先算收益率/波动率→∞/∞
     正确：应先确保时间窗口足够长使波动率收敛

五、忽略高阶无穷小项

1. 数值计算案例：
   • 错误：在梯度计算中保留O(Δx²)项导致内存溢出
   • 正确：一阶近似f(x+Δx)≈f(x)+f’(x)Δx

六、错误对照表

错误类型	错误示例	正确方法	实际后果
0/0型直接约	lim sinx/x=1	用洛必达/等价替换	模型梯度爆炸
∞-∞直接减	lim(√x - x)=-∞	分子有理化	套利策略失效
不连续点代入	lim arcsin(1-x²)	考察单侧极限	期权定价错误
运算顺序错	lim[(x+x³)/x]=0	先化简再求限	风险值计算偏差
保留过高阶项	1e-8+1e-16≈1e-8	合理截断	数值不稳定

七、实战检验题

1. 判断下列做法是否正确：

   计算导数时取h=1e-50

   dfdx = (f(x+h) - f(x))/h

   • 错误点：h太小导致浮点舍入误差占主导

2. 量化策略中：
   lim_(T→0) [P(T)-K]/T

   • 错误做法：直接得(P(0)-K)/0
   • 正确方法：应用期权价格的泰勒展开