Bresenham算法
一 Bresenham 绘直线
使用 Bresenham 算法，可以在显示器上绘制一直线段。该算法主要思想如下：
1 给出直线段上两个端点
，根据端点求出直线在X,Y方向上变化速率
；
2 当
时，X 方向上变化速率快于 Y 方向上变化速率，选择在 X 方向上迭代，在每次迭代中计算 Y 轴上变化；
当
时，Y 方向上变化速率快于 X 方向上变化速率，选择在 Y 方向上迭代，在每次迭代中计算 X 轴上变化；
3 现在仅考虑
情形，在
情况下仅需要交换变量即可。直线斜率
，当 d = 0 时，为一条水平直线，当 d > 0 或 d < 0 时，需要分开讨论，如下图：
二 Bresenham 绘圆
使用 Bresenham 绘制圆形，只需要绘制四分之一圆即可，其他部分通过翻转图形即可得到。假设圆心位于 (0, 0) 点，半径为 R，绘制第一象限四分之一圆形，如下图：
根据图形可知，从
出发，下一个可能的选择分别为：
1）水平方向上
；
2）对角方向上
；
3）垂直方向上
；
下面计算
，根据差值可判断大致圆弧位置：
1）当
时，圆环落在
与
之间，进一步计算圆弧到
与
的距离以判断应该落在哪个点上；
2）
，
由于
，
，上式可化简为，
，将
改写为
得：
，
已知
，可根据上式快速求解出
，当
时，下一点落在
上，当
时，下一点落在
上；
3）当
时，圆环落在
与
之间，进一步计算圆弧到
和
的距离以判断应该落在哪个点上；
4）
，可化简为：
，将
改写为
得：
，
已知
，可根据上式快速求解出
，当
时，下一点落在
上，当
时，下一点落在
上；
5）以上推导中，已知
可以快速求解
，同时，已知
也可以快速推导出
，以下分类讨论：
a. 当
时，有：
，进一步整理得：
；
b. 当
时，有：
，进一步整理得：
；
c. 当
时，有：
，进一步整理得：
。
以下给出 Bresenham 绘圆实现：
1 void Bresenham_Circle(PairS center, int radius, std::vector<PairS>& circle)2 {3 PairS start(0, radius);4 int Delta = (start.x + 1) * (start.x + 1) +5 (start.y - 1) * (start.y - 1) - radius * radius;6 7 std::vector<PairS> tmp;8 tmp.push_back(start);9
10 while (start.y > 0)
11 {
12 int state = -1;
13
14 if (Delta < 0)
15 {
16 int delta = (Delta + start.y) * 2 - 1;
17 if (delta < 0)
18 {
19 start.x += 1;
20 state = 0;
21 }
22 else
23 {
24 start.x += 1;
25 start.y -= 1;
26 state = 1;
27 }
28 }
29 else
30 {
31 int delta = (Delta - start.x) * 2 - 1;
32 if (delta < 0)
33 {
34 start.x += 1;
35 start.y -= 1;
36 state = 1;
37 }
38 else
39 {
40 start.y -= 1;
41 state = 2;
42 }
43 }
44
45 if (state == 0)
46 Delta = Delta + start.x * 2 + 1;
47 else if (state == 1)
48 Delta = Delta + start.x * 2 - start.y * 2, +2;
49 else if (state == 2)
50 Delta = Delta - start.y * 2 + 1;
51 else
52 break;
53
54 tmp.push_back(start);
55 }
56
57 std::vector<PairS> tmp2;
58 for (int i = 0; i < tmp.size(); ++i)
59 {
60 PairS p(tmp[i].x, tmp[i].y);
61 tmp2.push_back(p);
62 }
63 for (int i = tmp.size() - 1; i >= 0; --i)
64 {
65 PairS p(tmp[i].x, -tmp[i].y);
66 tmp2.push_back(p);
67 }
68 for (int i = 0; i < tmp2.size(); ++i)
69 {
70 PairS p(tmp2[i].x, tmp2[i].y);
71 circle.push_back(p);
72 }
73
74 for (int i = tmp2.size() - 1; i >= 0; --i)
75 {
76 PairS p(-tmp2[i].x, tmp2[i].y);
77 circle.push_back(p);
78 }
79
80 for (int i = 0; i < circle.size(); ++i)
81 {
82 circle[i].x += center.x;
83 circle[i].y += center.y;
84 }
85 }
