数学复习笔记 24

6.2 因为一些事情耽误了。没有复习完。今天还有时间。6.3 把剩下的两节网课看完。明天就要开始实训了，时间上的压力一下子变得非常大。当然光是看完还不够，宁愿看不完，也要把看完的部分的知识消化吸收了。学得仔细一点。

今天主要的时间精力用来学习数学。学习特征值，大概要学习三节网课。主要是做书上的例题。加油。

转置之后行列式不变。加减法只有转置可以拆开。单位阵转置之后保持不变。对于一个矩阵方程，可以同时对方程两边取转置，取逆矩阵，是一个非常好的证明思路。以后复习的时候，可以对着电子笔记整理自己的博客，还可以补充一些知识点。关键就是要多刷几遍。这样非常踏实。

求可逆矩阵 p ，使得 A 可以相似对角化，直接求 A 的特征向量就可以秒了。一般实际上就是三阶矩阵，特征值是单根在计算的时候有一个技巧，假设是单根，那么有 1 个线性无关的特征向量，那么就是 s = 1 = n - r( A ) = 3 - r( A ),r( A ) = 2.

相似对角化就是求特征值和特征向量。把剩的网课看了一下，还剩一节录播和一节直播。感觉学懂了这块的知识，感受上是，计算量比较大，然后的话，知识内容比较简单。需要耐心计算。趁这个时间复习一下期末考试，刷一下题库里面的题，这个期末考试还是想尽量考高一些，至少和 $zz$ 相关的两门科目，都想考满绩。题库的题好多，感觉就是要连续的一段时间，一定要把一章刷完再去干别的事情，这就是学习强度，就是我要追求和缺少的东西。

特征向量改变系数，不改变对应的特征值。这个非常关键。

可逆矩阵 P 里面的列向量是 A 的特征向量，假设是不同的特征值对应的特征向量的线性组合，那么一定不是 A 的特征向量。

同一个特征值对应的两个向量特征向量，它们的线性组合仍是 A 的特征向量。改变一个特征向量的系数，对应的还是原来的特征值。矩阵乘法的运算量估计给考生算得比较酸爽。看了宇哥的微博，他发了一个端午节的毛笔字祝福，点赞最多的一条评论是“明白了，放弃考研”，笑死我了。

我感觉用增广矩阵行变换算逆矩阵是比公式法更加顺畅的方法。算两个矩阵乘法，我要是考试三个小时的时间，我还能做完整张卷子吗。我真是考研数学圣体，这么复杂的运算都是和答案一模一样。感觉线代大概率拿满了。加油。

一般我们的矩阵就是考虑三阶的，所以下面是关于三阶矩阵的一些描述。有三个不同的特征值，那么这个矩阵可以相似对角化。假设出现了重根，或者说出现了相同的特征值，那么就要考虑秩，实际上是考虑特征向量是否是线性相关的。比如说，二重根，有两个线性无关的特征向量的时候可以相似对角化。这里我们不需要算出来特征向量，算特征向量计算量太大了，非常难受，这里可以考虑 $$s=n-r(\lambda E-A)$$

我们这里都是方阵，并且考虑的是三阶方阵，那么考虑二重根的情况，就是 s = 2, n =3,$r(\lambda E-A)=1$, 也就是说，出现二重根的时候，我们判断特征矩阵的秩是否是 1 ，假设是 1，表示可以相似对角化，假设不是 1 ，表示不可以相似对角化。

特征向量，或者说解齐次方程，解因为我们是给自由变量赋值得到的结果，所以最后的结果是多样的。我计算能力还算不错，目前遇到的题，基本都可以从头算到尾，基本不出错，当然也不太能出错，出错的话这题基本就废完了。考研数学实际上想要取得一个高分，实际上没有啥容错率。得保持一个清醒的头脑，还有有时间可以验算一遍。还有就是多积累经验，防止考试的时候遇到全新的题，需要灵活处理的题，自己没有相关的经验，然后临时想不出来，那就有点拿不了高分了。老师说得很对，老师果然是教了很多年，很有经验的，他说，不要内耗，把时间花费在研究具体知识点上面。我到现在，确实遇到的题，花时间和精力也确实是可以研究明白，研究不明白，请教别人，也可以弄明白。

5.17 这题，还是得算特征向量。看到算变换矩阵 P 就逃不掉算特征向量了，这题还引入了一个分类讨论，所以需要算四个特征向量。考研真题考察过算六个特征向量，所以这算是正常计算量。

算太多步骤终于还是算错了。计算步骤太多很容易出错的，感觉这个没啥办法，毕竟人不是机器。可以考虑尽可能心算，心算不下去再考虑笔算，适当跳一些计算步骤，可以保证思路的连贯性。心算有时候一些简单的会出错，我想起来初中某一次重要的考试，我 15 ✖ 6 算不对，非常难受。当时班主任老师让她的一个数学老师朋友帮我分析了一下，同一个城市之间的教育资源差距也是非常大，可能包括一些教育理念之类的东西。另外，我怎么错过直播了。想着晚上七点看直播的，结果刚看了一眼，直播上午就结束了。不过上午结束了也好。因为上午的时候我还在追进度。现在也在追进度。当然进度不是那么重要，最关键是到底能不能消化吸收知识点。

现在还剩两节网课没有看，线代应该是差不多结束了。看完这两节，估计最多再来两节就结束了。以前初中有个补习班的物理老师，他能把教材上面的定义概念都熟稔于心，原来这个字读 ren 第三声。我之前一直不知道呢。

正交就是线性无关的吧。正交一定是线性无关，线性无关不一定是正交的。正交是更加苛刻的条件。平时做的练习，要么是学知识和方法，要么就是带有一些预测性的题。

今天可以学得晚一点，把两节网课看完再睡觉反正。现在还可以学习一个半小时左右，学一下专业课吧。

施密特正交化，可以记忆公式，也可以用正交的两个向量的内积是零，来硬算。

参考答案和自己的做题的步骤不是一致的。一定要自己运算到最后一步并且算对，形成自己的理解。

正交阵的逆矩阵就是它的转置阵。正交阵的行列式一定是正负一，内积是行向量乘以列向量。正交矩阵的列向量都是单位向量，并且彼此正交。内积是 1 就是单位向量，内积是 0 就是正交。

之后的笔记尽量连贯，然后尽量写完就上传了。每次打开草稿箱还是有点麻烦。学习知识点确实是尽量连贯。实际上考研遇到的一般就是实数，所以实对称矩阵一般就称为对称阵。实对称矩阵的特征值都是实数。

正交的，是线性无关的，线性无关的，不一定是正交的。正交就是垂直，线性无关就是相交不共线。实对称矩阵一定可以相似对角化。

以后笔记不写日期了，反正这个系统会显示日期呢。

实对称矩阵可以相似对角化，变换矩阵是正交阵。正交阵是天然可逆的，因为它的定义天然符合逆矩阵的定义。前面说了，正交阵的逆矩阵和转置阵是相等的，相同的。相同的可能更加准确。

变换矩阵的列向量是线性无关的。列向量彼此正交，可以让变换矩阵变为正交阵。相当于本来是两个相交的线表示所有的，现在改成垂直的两个向量表示所有。正交阵的列向量两两正交，并且每个列向量都是都是单位向量。相当于甄选之后的特征向量，放到了变换矩阵的位置。正交阵写逆矩阵还是写转置阵都是一个意思。

对角阵里面就是几个特征值。关键还是理解特征值和特征向量的性质。讲义 p66 写得比较清楚。

实对称矩阵的正交相似对角化，这么长的名字，本质上就是求特征值，特征向量，然后对特征向量，进行正交化和单位化。最后求出来的就是正交阵。实对称矩阵的变换矩阵是正交阵。

齐次方程有非零解，本质上就是有无穷多的解，那么就是不满秩。满秩就是唯一解，就是行列式不为零。

下面是特征向量正交化的过程。首先一定要记住施密特正交化公式。另外还有一个方法可以简化正交化的过程。内积为零就是正交，就是垂直，内积是两个向量的模长，同时乘以余弦，垂直的时候是九十度，余弦值是零。

解齐次方程可以用系数矩阵行变换来算。首先可以对着重根的特征值算一个特征向量，然后联立特征向量的系数，还有原来系数的方程。

为什么不同特征值对应的特征向量是已经正交化了的？？？实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定是正交的。这个性质没有记住。