儿童节快乐，聊聊数字的规律和同余原理

某年的6月1日是星期日。那么，同一年的6月30日是星期几？

星期是7天一个循环。所以说，这一天是星期几，7天之后同样也是星期几。而6月30日是在6月1日的29天之后：29 ÷ 7 = 4 ... 1用29除以7，可以得出余数为1。而6月1日那一天是星期日，那么，6月30日就是星期日的后一天，也就是星期一。

某年的3月，Wendy想制定一个实习计划，它想知道当年的7月和11月有哪几天是星期天。但月历坏了，5月后面的几页看不到了。Wendy却轻松找到了想要的日期，难道Wendy是天才喵？

不是，因为它知道，每一年的3月1日到3月30日，与11月1日到11月30日，在星期上面是完全相同的。同样，4月1日到4月30日，与7月1日到7月30日，在星期上面也是完全相同的（31日除外）​。

这到底是怎么一回事呀？

每一年过了3月之后，在天数上，4月、6月、9月、11月都是30天，而其他的月份都是31天。
把3月到10月的天数相加，得出：31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 = 245。
245 ÷ 7= 35，用245除以一周的天数7天，就可以得出，3月1日～3月30日，与11月1日～11月30日，在星期上面是完全相同的。

同样，把4月到6月的天数相加，得出：30 + 31 + 30 = 91。
91 ÷ 7 = 13，就可以得出，4月1日到4月30日，与7月1日到7月30日，在星期上面也是完全相同的。

原来，数字有规律性和周期性。高斯于是提出了“同余式”的理论。

当a除以m所得余数，和b除以m所得余数相同的时候，就将它写成：a ≡ b（mod m）。称为整数a，b对模m同余。而上面的这个算式就是同余式。在这里，mod表示整除后取余的意思。同C语言的％运算符的功能是一样的。

比如3 ≡ 1 （mod 2），27 ≡ 2 （mod 5）。

同余式可以相加。

比如，当除以7的时候，10和17的余数为3，9和16的余数为2：10 ≡ 17（mod 7），9 ≡ 16 （mod 7）。
将10 + 9和17 + 16分别再除以7，得出的余数都是3 + 2 （5）​，也就是说：10 + 9 ≡ 17 + 16 （mod 7）。

不光是相加，相减，或者相乘（乘方）​，同余式依然成立。

同余式和其他的等式一样，可以进行加法、减法、乘法（乘方）的运算。

求：13的2000次方除以12

13 ≡ 1 （mod12），根据同余式的性质④，能够得出：13^2000 ≡ 1^2000 ≡ 1 （mod 12）。余数为1。

求：斐波那契数列中是3的倍数的项

如果用通项求：

可能不够优雅。

不妨根据这个数列的递推方程式，求出一开始几项的具体数字，然后将这些数字除以3，得出余数。

我们想要找到整数除法运算当中“余数”的周期和规律。

假设：

$a_{n+1}=3p+k$
$a_n=3q+l$

k和l都是0，1，2三个数字当中的某个整数。

an+1除以3的余数为k，而k除以3的余数也为k，可以得出：$a_{n+1}\equiv k（mod3）$。
同样，an除以3的余数为l，而l除以3的余数也为l，可以得出：$a_n\equiv l（mod3）$。

根据递推方程式：$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$

根据同余式的性质①，得出：$a_{n+2}\equiv a_{n+1}+a_n\equiv k+l（mod3）$。
也就是说，想要求出an+2除以3的余数，就必须先求出an+1和an除以3的余数，然后将两个余数相加。

通过先前的表格，我们可以看出，如果连续2个余数和前面的某2个余数相同的话，那么，此后的余数都按照这个形式循环下去。

比如，第9项和第10项的余数与第1项和第2项的余数相同，所以当这个数列除以3的时候，所得出的余数的周期为8。

一开始的8项当中，a4和a8能够被3整除。
所以，n的条件为，n是4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，···。

线性同余法获取伪随机数

在C语言中，只要调用rand()函数，就可以得到随机数。不过，由于借助公式产生的随机数具有一定的规律性，因此并不是真正的随机数，通常称为伪随机数。

线性同余法：如果把Ri作为当前随机数的话，那么下一个出现的随机数Ri + 1就是，$R_{i+1}=(a\times R_i+b)modc$

对a、b、c各参数设定合适的整数后，可以从该公式获得的随机数的范围就是0到c（不包含）​。例如，把a设定为5，b设定为3，c设定为8，Ri的初始值定为了1。

这些随机数确实很像是无规则随机出现的数值。不过，产生8次随机数后，下8次产生的随机数就和前面的数值相同了。这种周期性是伪随机数的特征，也是为什么不是真随机数的原因。

srand(time(NULL));可以提前设定Ri、a、b、c的数值。srand()函数中的参数time(NULL)，是用来获取当前时间的参数。由于每次启动程序时的当前时间都是变化的，因此Ri、a、b、c的数值也会随之发生变化。Ri、a、b、c的数值就称为随机数的种子。

而重复调用rand()函数的话，因为Ri、a、b、c的数值都有默认值，因此每次都会生成以相同方式出现的随机数。

参考

[1] 写给全人类的数学魔法书
[2] 程序是怎样跑起来的