论文阅读_用于低频隔振的高负刚度新型阵列磁性弹簧的分析与设计_1

前言

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论文引用

名词翻译与解释（ 摘要部分abstract）

英文	中文
negative stiffness mechanism (NSM)	负刚度机制（NSM）
positive stiffness	正刚度
high load capacity	高承载能力
ultra - low frequency vibration isolation ability	超低频隔振能力
the stiffness nonlinearity	刚度非线性
a novel compact arrayed - magnetic - spring with negative stiffness (AMS - NS)	一种新型紧凑型阵列式负刚度磁弹簧（AMS - NS）
cuboidal magnets	立方体磁铁
high negative stiffness density	高负刚度密度
ameliorative nonlinearity	改良的非线性
charge model	电荷模型
static experiments	静态实验
Parametric studies	参数研究
the nonlinear displacement transmissibility	非线性位移传递率
the harmonic balance method	谐波平衡法
experiments	实验
a prototype with APSP	带有APSP的一个原型
the resonance frequency	共振频率
broaden the vibration isolation band	拓宽隔振频带

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正刚度与负刚度

1. 正刚度

• 定义：正刚度定义了物体抵抗形变的能力，是衡量弹簧劲度系数的指标。在力学中，通常指在静力荷载下，力与位移成正比关系，其比例系数即为正刚度。
• 公式：对于线性弹性材料，如弹簧，其正刚度 $k$ 可以通过胡克定律来表示，即 $F=k\delta$，其中 $F$ 是作用在弹簧上的力，$\delta$ 是弹簧的位移。这个公式表明，力与位移成正比，比例系数 $k$ 就是正刚度。
• 特点：正刚度的物体在受到外力作用时，位移越大，所需的力也越大。这是因为物体的内部结构在抵抗形变时，会产生与外力相反的恢复力，且这个恢复力随着位移的增加而增大。

2. 负刚度

• 定义：负刚度是一种特殊设计，使得在荷载作用下，位移越大，所需的力反而减小。这种现象通常出现在某些特定的结构或材料中，如压杆失稳。
• 公式：负刚度没有像正刚度那样简单的通用公式，但可以通过一些特定的力学模型来描述。例如，在压杆失稳的情况下，可以使用屈曲理论来分析。对于一个受压的杆件，其临界载荷 $P_{cr}$ 可以通过欧拉公式来计算，即 $P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{(KL{)}^2}$，其中 $E$ 是材料的弹性模量，$I$ 是截面的惯性矩，$L$ 是杆件的长度，$K$ 是有效长度系数。当杆件发生屈曲时，其刚度会变为负值，即在继续增加位移时，所需的力反而减小。
• 特点：负刚度的物体在受到外力作用时，位移越大，所需的力反而越小。这是因为物体的内部结构在发生屈曲或变形时，会产生与外力同方向的力，从而降低了整体的刚度。

3. 正刚度与负刚度的对比

特点	正刚度	负刚度
力与位移关系	位移越大，所需的力越大	位移越大，所需的力越小
公式	$F=k\delta$	无通用公式，特定情况下可通过力学模型描述
应用	机械设计、建筑结构等	减震、隔振、结构稳定性等
实例	弹簧、梁等线性弹性元件	压杆失稳、某些特殊设计的机械结构

4. 总结
正刚度和负刚度是描述物体在受到外力作用时，力与位移关系的两个重要概念。正刚度表示物体抵抗形变的能力，位移越大，所需的力也越大；而负刚度则表示在某些特定情况下，位移越大，所需的力反而越小。理解正负刚度的概念和特点，对于工程设计中的减震、隔振以及结构稳定性分析具有重要意义。

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隔振能力

隔振能力是指隔振系统减少振动传递的能力，通常用传递率（Transmissibility）或隔振效率来衡量。隔振能力的核心是通过隔振器（如弹簧、阻尼器等）将振动源与受保护结构隔离，从而减少振动的传递。

1. 隔振系统的基本模型
隔振系统通常可以简化为一个单自由度系统，包括质量 $m$、弹簧刚度 $k$ 和阻尼系数 $c$。系统的运动方程可以表示为：

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$$

其中：

• $x$ 是质量的位移；
• $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 分别是速度和加速度；
• $F(t)$ 是外部激励力。

2. 传递率
传递率 $T$ 是衡量隔振能力的重要参数，定义为输出振幅与输入振幅的比值。对于简谐激励 $F(t)=F_0\sin (\omega t)$，传递率可以表示为：

$$T=\frac{X_{\text{out}}}{X_{\text{in}}}$$

其中：

• $X_{\text{out}}$ 是隔振系统输出的振幅；
• $X_{\text{in}}$ 是输入的振幅。

传递率的公式为：

$$T=\sqrt{\frac{1+(2\zeta \beta {)}^2}{(1-{\beta }^2{)}^2+(2\zeta \beta {)}^2}}$$

其中：

• $\beta =\frac{\omega }{{\omega }_n}$ 是频率比，$\omega$ 是激励频率，${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 是系统的固有频率；
• $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}$ 是阻尼比。

3. 隔振效率
隔振效率 $\eta$ 是衡量隔振系统性能的另一个指标，定义为：

$$\eta =1-T$$

隔振效率越高，表示隔振系统减少振动传递的效果越好。

4. 隔振能力的分析

• 低频区域（$\beta <1$）：激励频率低于系统的固有频率，传递率接近 1，隔振效果较差。
• 共振区域（$\beta \approx 1$）：激励频率接近系统的固有频率，传递率可能很大，隔振效果最差。
• 高频区域（$\beta >\sqrt{2}$）：激励频率高于系统的固有频率，传递率小于 1，隔振效果显著。

5. 提高隔振能力的措施

• 降低固有频率：通过增加质量 $m$ 或减小刚度 $k$，使 ${\omega }_n$ 降低，从而提高高频区域的隔振效果。
• 优化阻尼：适当增加阻尼 $c$ 可以减少共振区域的振动放大，但过大的阻尼会降低高频区域的隔振效果。

6. 实际应用中的隔振能力
在实际工程中，隔振能力的选择需要综合考虑振动源的频率范围、隔振系统的固有频率以及阻尼特性。通过合理设计隔振系统，可以有效减少振动传递，保护设备和结构。

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非线性位移传递率

非线性位移传递率是描述非线性隔振系统中振动传递特性的重要指标。与线性系统不同，非线性系统的响应可能包含多种复杂的现象，如多值响应、跳跃现象和次谐波共振等。非线性位移传递率的分析通常基于非线性动力学理论。

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1. 非线性隔振系统的基本模型
非线性隔振系统的运动方程可以表示为：

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+k(x)=F(t)$$

其中：

• $m$ 是质量；
• $c$ 是阻尼系数；
• $k(x)$ 是非线性刚度函数，通常与位移 $x$ 相关；
• $F(t)=F_0\sin (\omega t)$ 是外部简谐激励。

非线性刚度 $k(x)$ 可以是硬弹簧（刚度随位移增大而增大）或软弹簧（刚度随位移增大而减小）。常见的非线性形式包括：

• 立方刚度：$k(x)=k_{1}x+k_3{x}^3$，其中 $k_1$ 是线性刚度，$k_3$ 是非线性刚度系数；
• 分段线性刚度：刚度在不同位移区间内表现为不同的线性特性。

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2. 非线性位移传递率的定义
非线性位移传递率 $T$ 定义为输出位移振幅 $X_{\text{out}}$ 与输入位移振幅 $X_{\text{in}}$ 的比值：

$$T=\frac{X_{\text{out}}}{X_{\text{in}}}$$

对于非线性系统，传递率 $T$ 不仅依赖于激励频率 $\omega$、阻尼比 $\zeta$ 和固有频率 ${\omega }_n$，还依赖于非线性刚度特性。

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3. 非线性系统的分析方法
非线性系统的解析求解通常较为复杂，常用的方法包括：

• 谐波平衡法：假设系统的响应为简谐形式，通过平衡谐波项求解；
• 多尺度法：将时间尺度分为快变和慢变部分，逐步求解；
• 数值仿真：通过数值方法（如 Runge-Kutta 法）直接求解运动方程。

谐波平衡法示例
假设系统的响应为简谐形式：

$$x(t)=X\sin (\omega t+\varphi )$$

将 $x(t)$ 代入运动方程，并通过谐波平衡条件（即正弦和余弦项的系数相等）求解振幅 $X$ 和相位 $\varphi$。对于立方刚度系统，运动方程变为：

$$m(-{\omega }^{2}X\sin (\omega t+\varphi ))+c(\omega X\cos (\omega t+\varphi ))+k_{1}X\sin (\omega t+\varphi )+k_3{X}^3{\sin }^3(\omega t+\varphi )=F_0\sin (\omega t)$$

利用三角恒等式 ${\sin }^3(\theta )=\frac{3}{4}\sin (\theta )-\frac{1}{4}\sin (3\theta )$，忽略高次谐波项，得到：

$$(-m{\omega }^{2}X+k_{1}X+\frac{3}{4}{k}_3{X}^3)\sin (\omega t+\varphi )+c\omega X\cos (\omega t+\varphi )=F_0\sin (\omega t)$$

通过谐波平衡条件，可以得到关于 $X$ 和 $\varphi$ 的非线性方程组，进而求解传递率 $T$。

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4. 非线性位移传递率的特性
非线性系统的位移传递率具有以下特点：

1. 多值响应：在某些频率范围内，系统可能存在多个稳定的振幅响应，导致传递率曲线出现分岔。
2. 跳跃现象：当激励频率缓慢变化时，系统的响应可能突然从一个稳定解跳跃到另一个稳定解。
3. 频率偏移：非线性刚度会导致系统的共振频率偏离线性系统的固有频率 ${\omega }_n$。
4. 次谐波共振：非线性系统可能在激励频率的分数倍频率处产生共振。

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5. 非线性位移传递率的公式
对于立方刚度系统，传递率 $T$ 的近似表达式为：

$$T=\frac{X_{\text{out}}}{X_{\text{in}}}=\frac{1}{\sqrt{(1-{\beta }^2+\frac{3}{4}\gamma X^2{)}^2+(2\zeta \beta {)}^2}}$$

其中：

• $\beta =\frac{\omega }{{\omega }_n}$ 是频率比；
• $\gamma =\frac{k_3}{k_1}$ 是非线性刚度比；
• $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{m{k}_1}}$ 是阻尼比；
• $X$ 是输出位移振幅。

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6. 非线性隔振系统的设计
在设计非线性隔振系统时，需要综合考虑以下因素：

• 非线性刚度的类型（硬弹簧或软弹簧）；
• 激励频率范围；
• 阻尼比的优化；
• 避免多值响应和跳跃现象。

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总结
非线性位移传递率是描述非线性隔振系统振动传递特性的关键指标。与线性系统相比，非线性系统的传递率表现出多值响应、跳跃现象和频率偏移等复杂特性。通过谐波平衡法、多尺度法或数值仿真，可以求解非线性系统的传递率，并为隔振系统的设计提供理论依据。

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谐波平衡法

可参见：谐波平衡法

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共振频率介绍

可参见：共振频率介绍

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隔振频带

隔振频带是指隔振系统能够有效隔离振动的频率范围。在这个范围内，隔振系统能够显著降低振动的传递，从而保护设备或结构免受振动的影响。隔振频带通常分为低频隔振带和高频隔振带，分别对应于低频和高频振动的隔离。

1. 隔振频带的数学公式
对于单自由度隔振系统，传递率 $T$ 的计算公式为：
$$T=\sqrt{\frac{1+(2\zeta r{)}^2}{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}$$
式中：

• $\zeta$ 为阻尼比，表示系统的阻尼程度；
• $r$ 为频率比，定义为 $r=\frac{\omega }{{\omega }_n}$，其中 $\omega$ 是激励频率，${\omega }_n$ 是系统的固有频率。

当 $r>\sqrt{2}$ 时，传递率 $T$ 小于 1，隔振效果显著。因此，有效隔振频带可以定义为：
$$r>\sqrt{2}$$
即：
$$\omega >\sqrt{2}{\omega }_n$$

2. 隔振频带的影响因素

1. 固有频率 ${\omega }_n$：固有频率越低，有效隔振频带越宽。通过降低系统的固有频率，可以扩大隔振频带，提高隔振效果。
2. 阻尼比 $\zeta$：阻尼比越大，系统的能量耗散能力越强，隔振效果越好。但过大的阻尼比会降低系统的灵敏度，影响隔振性能。
3. 激励频率 $\omega$：激励频率越高，隔振效果越好。在高频范围内，隔振系统的传递率通常较低，能够有效隔离振动。