数据结构 -- 树相关面试题

二、树相关的填空题
1.对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 ________ 二叉树时，具有最小高度，即为 ________；当它为一棵单支树时具有最大高度，即为 ________。
2.对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它存储在二叉链表中时，其指针字段的总数为 ________ 个，其中 ________ 个用于链接孩子结点; _______ 个空闲。
3.一棵深度为 k 的满二叉树的结点总数为 ________，
一棵深度为 k 的完全二叉树的结点总数的最小值为 ________，最大值为 ________。
4. 由三个结点构成的二叉树，共有 ________ 种不同的结构。

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答案分析：

我们来逐条分析这些填空题的正确答案，并给出详细的解释。

第1题：

对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 ________ 二叉树时，具有最小高度，即为 ________；当它为一棵单支树时具有最大高度，即为 ________。

✅ 答案：

满二叉树，    $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$，    n

🔍 解释：

• 最小高度出现在完全填满的情况下，也就是满二叉树（Full Binary Tree）。

  • 满二叉树每一层都填满了节点。
  • 高度 $ h $ 的满二叉树最多有 $ 2^h - 1 $ 个节点；
  • 所以对于 n 个节点来说，最小高度为满足 $ 2^{h} - 1 \geq n $ 的最小 h，即：
    $$h=\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$$

• 最大高度出现在单支树（退化成链表）的情况下，每个节点只有一个孩子，所以高度为 n。

第2题：

对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它存储在二叉链表中时，其指针字段的总数为 ________ 个，其中 ________ 个用于链接孩子结点，________ 个空闲。

✅ 答案：

2n，    n - 1，    n + 1

🔍 解释：

• 每个节点有两个指针域（左孩子和右孩子），共 2n 个指针；
• 除了根节点外，每个节点都被一个指针所指向，所以只有 n - 1 个指针被使用；
• 因此，空指针数 = 总指针数 - 使用的指针数 = 2n - (n - 1) = n + 1

第3题：

一棵深度为 k 的满二叉树的结点总数为 ________，
一棵深度为 k 的完全二叉树的结点总数的最小值为 ________，最大值为 ________。

✅ 答案：

$2^k-1$，    $2^{k-1}$，    $2^k-1$

🔍 解释：

• 满二叉树：每层都填满，总节点数是：
  $$2^0+2^1+\cdots +2^{k-1}=2^k-1$$
• 完全二叉树：最后一层可以不满，但必须从左到右连续填充；
  • 最小情况：只有最后一层有一个节点，其余层都是满的，即：
    $$2^{k-1}$$
  • 最大情况：就是满二叉树的情况，即：
    $$2^k-1$$

第4题：

由三个结点构成的二叉树，共有 ________ 种不同的结构。

✅ 答案：

5

🔍 解释：

这是求不同形态的二叉树数量的问题。
对于 n 个节点的不同结构的二叉树数目，是一个经典的卡特兰数问题。

• 卡特兰数公式：
  $$C_n=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$
• 当 n = 3 时：
  $$C_3=\frac{1}{4}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\frac{1}{4}\times 20=5$$

✅ 五种不同结构（形态）如下（根节点设为 A，左子树、右子树用 B、C 表示）：
结构 1：

    A/B/
C

A 只有左孩子 B
B 只有左孩子 C
结构 2：

A/B\C

A 只有左孩子 B
B 只有右孩子 C
结构 3：

A/ \B   C

A 有两个孩子：B（左），C（右）
结构 4：

A\B/C

A 只有右孩子 B
B 只有左孩子 C
结构 5：

    A\B\C

A 只有右孩子 B
B 只有右孩子 C
✳️ 总结：
结构编号 图形表示

1 A → B → C（全左单支）
2 A → B ←→ C（B 右子节点）
3 A 有两个孩子 B 和 C（完整层次）
4 A → (右) B → (左) C
5 A → (右) B → (右) C（全右单支）

🧠 补充说明：

• 每一种结构都代表了不同的拓扑形态。
• 虽然结点名可以任意改变，但在不考虑名字的情况下，只有这5种互不相同的二叉树结构。
• 注意区分“结构不同”与“中序/先序遍历顺序不同”，这里是根据形状来判断的。

✅ 最终完整答案汇总如下：

题号	填空内容	正确答案
1	对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 ________ 二叉树时，具有最小高度，即为 ________；当它为一棵单支树时具有最大高度，即为 ________。	满，   $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$，   n
2	其指针字段的总数为 ________ 个，其中 ________ 个用于链接孩子结点，________ 个空闲。	2n，   n - 1，   n + 1
3	满二叉树的结点总数为 ________，完全二叉树的结点总数的最小值为 ________，最大值为 ________。	$2^k-1$，   $2^{k-1}$，   $2^k-1$
4	由三个结点构成的二叉树，共有 ________ 种不同的结构。	5