高等代数笔记—欧几里得空间、双线性函数
欧几里得空间
欧几里得空间（欧氏空间）
V
V
V定义：
V
V
V是实数域
R
R
R上线性空间
在
V
V
V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作
(
α
,
β
)
(\alpha,\beta)
(α,β)，并且内积满足以下性质：
1、
(
α
,
β
)
=
(
β
,
α
)
(\alpha,\beta)=(\beta, \alpha)
(α,β)=(β,α)
2、
(
k
α
,
β
)
=
k
(
α
,
β
)
(k\alpha,\beta)=k(\alpha, \beta)
(kα,β)=k(α,β)
3、
(
α
+
γ
,
β
)
=
(
α
,
β
)
+
(
γ
,
β
)
(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha, \beta)+(\gamma, \beta)
(α+γ,β)=(α,β)+(γ,β)
4、
(
α
,
α
)
≥
0
(\alpha,\alpha)\geq 0
(α,α)≥0，当且仅当
α
=
0
\alpha=0
α=0时
(
α
,
α
)
=
0
(\alpha,\alpha)=0
(α,α)=0
其中，
α
,
β
,
γ
∈
V
\alpha,\beta,\gamma \in V
α,β,γ∈V。
内积举例：
R
n
R^n
Rn中的两个元素为
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
,
(
b
1
,
.
.
.
,
b
n
)
(a_1,...,a_n), (b_1,...,b_n)
(a1,...,an),(b1,...,bn)，内积为
Σ
i
=
1
n
a
i
b
i
\Sigma_{i=1}^n a_i b_i
Σi=1naibi；
C
[
a
,
b
]
C[a,b]
C[a,b]或
R
[
x
]
R[x]
R[x]中的两个元素为
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x)，内积为
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
\int_a^b f(x)g(x)dx
∫abf(x)g(x)dx；
定义向量夹角： < α , β > = a r c c o s ( ( α , β ) ∣ α ∣ ⋅ ∣ β ∣ ) , < α , β > ∈ [ 0 , π ] <\alpha, \beta> = arccos(\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha|\cdot |\beta|}), <\alpha, \beta> \in [0, \pi] <α,β>=arccos(∣α∣⋅∣β∣(α,β)),<α,β>∈[0,π]
(
α
,
β
)
=
X
T
A
Y
(\alpha,\beta)=X^TAY
(α,β)=XTAY
其中，
α
,
β
∈
V
\alpha, \beta \in V
α,β∈V，
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
n
\epsilon_1,...,\epsilon_n
ϵ1,...,ϵn是
V
V
V的一组基，
X
,
Y
X,Y
X,Y分别是
α
,
β
\alpha, \beta
α,β在这组基下的坐标，
A
A
A称为这组基的度量矩阵。
不同基的度量矩阵合同。
度量矩阵是正定的。
定理：
L
(
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
i
)
=
L
(
η
1
,
.
.
.
,
η
i
)
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
L(\epsilon_1,...,\epsilon_i)=L(\eta_1,...,\eta_i), i=1,...,n
L(ϵ1,...,ϵi)=L(η1,...,ηi),i=1,...,n
其中，
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
n
\epsilon_1,...,\epsilon_n
ϵ1,...,ϵn是
V
V
V的一组基，
η
1
,
.
.
.
,
η
i
\eta_1,...,\eta_i
η1,...,ηi是
V
V
V的一组标准正交基。
欧式空间中同构映射的定义：
V
,
V
′
V,V'
V,V′是
R
R
R上的欧氏空间，
σ
:
V
→
V
′
\sigma: V\to V'
σ:V→V′为双射并且满足：
1、
σ
(
α
+
β
)
=
σ
(
α
)
+
α
(
β
)
\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \alpha(\beta)
σ(α+β)=σ(α)+α(β)
2、
σ
(
k
α
)
=
k
σ
(
α
)
\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)
σ(kα)=kσ(α)
3、
(
σ
(
α
)
,
σ
(
β
)
)
=
(
α
,
β
)
(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)
(σ(α),σ(β))=(α,β)
（与线性空间的同构映射相比，多了第三条）
同构是欧氏空间之间的关系，具有反身性、对称性、传递性。
每个欧式空间都与
R
n
R^n
Rn同构。
定理：两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们维数相同。
正交变换定义：如果欧氏空间 V V V的线性变换 A \mathscr{A} A满足 ( A α , A β ) = ( α , β ) (\mathscr{A}\alpha, \mathscr{A}\beta) = (\alpha,\beta) (Aα,Aβ)=(α,β)，则 A \mathscr{A} A称为正交变换。
子空间正交的定义：欧式空间中两个子空间
V
1
,
V
2
V_1,V_2
V1,V2，如果
∀
α
∈
V
1
,
∀
β
∈
V
2
\forall \alpha \in V_1, \forall \beta \in V_2
∀α∈V1,∀β∈V2，恒有
(
α
,
β
)
=
0
(\alpha,\beta)=0
(α,β)=0，则称
V
1
,
V
2
V_1, V_2
V1,V2正交，记作
V
1
⊥
V
2
V_1 \perp V_2
V1⊥V2。
V
1
∪
V
2
=
{
0
}
V_1 \cup V_2 = \set{0}
V1∪V2={0}
定理：如果一些子空间两两正交，那么这些子空间的和为直和。
如果 V 1 ⊥ V 2 , V 1 + V 2 = V V_1 \perp V_2, V_1+V_2=V V1⊥V2,V1+V2=V，则 V 2 ( V 1 ) V_2(V_1) V2(V1)为 V 1 ( V 2 ) V_1(V_2) V1(V2)的正交补。
定理： n n n维欧氏空间的每个子空间的正交补都唯一
酉空间是复数域上的欧氏空间。
辛空间
线性函数
σ
\sigma
σ的定义：
V
V
V是数域
F
F
F上的线性空间，映射
σ
:
V
→
F
\sigma: V\to F
σ:V→F满足：
1、
σ
(
α
+
β
)
=
σ
(
α
)
+
σ
(
β
)
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+ \sigma(\beta)
σ(α+β)=σ(α)+σ(β)
2、
σ
(
k
α
)
=
k
σ
(
α
)
\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)
σ(kα)=kσ(α)
其中，
k
∈
F
,
α
,
β
∈
V
k\in F, \alpha, \beta \in V
k∈F,α,β∈V
F
F
F上的一个
n
n
n线性空间为
V
V
V，
V
V
V上的全体线性函数记作
L
(
V
,
F
)
L(V,F)
L(V,F)。
L
(
V
,
F
)
L(V,F)
L(V,F)称为
V
V
V的对偶空间，记作
V
∗
V^*
V∗。
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
2
\epsilon_1,...,\epsilon_2
ϵ1,...,ϵ2为
V
V
V的一组基，
V
V
V上的
n
n
n个线性函数
f
1
,
.
.
.
,
f
n
f_1,...,f_n
f1,...,fn满足：
f
i
(
ϵ
j
)
=
1
,
i
=
j
f_i(\epsilon_j)=1,i=j
fi(ϵj)=1,i=j
f
i
(
ϵ
j
)
=
0
,
i
≠
j
f_i(\epsilon_j)=0, i\neq j
fi(ϵj)=0,i=j
则
f
1
,
.
.
.
,
f
n
f_1,...,f_n
f1,...,fn是
L
(
V
,
F
)
L(V,F)
L(V,F)的一组基，称为
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
2
\epsilon_1,...,\epsilon_2
ϵ1,...,ϵ2的对偶基。
定理：如果由
η
1
,
.
.
.
,
η
2
\eta_1,...,\eta_2
η1,...,η2到
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
2
\epsilon_1,...,\epsilon_2
ϵ1,...,ϵ2的过渡矩阵为
A
A
A，则由
f
1
,
.
.
.
,
f
n
f_1,...,f_n
f1,...,fn到
g
1
,
.
.
.
,
g
n
g_1,...,g_n
g1,...,gn的过渡矩阵为
(
A
T
)
−
1
(A^T)^{-1}
(AT)−1。
其中，
η
1
,
.
.
.
,
η
2
\eta_1,...,\eta_2
η1,...,η2与
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
2
\epsilon_1,...,\epsilon_2
ϵ1,...,ϵ2为
V
V
V的两组基，它们的对偶基分别是
f
1
,
.
.
.
,
f
n
f_1,...,f_n
f1,...,fn与
g
1
,
.
.
.
,
g
n
g_1,...,g_n
g1,...,gn。
x ∈ V , f ∈ V ∗ x\in V, f\in V^* x∈V,f∈V∗，若 V ∗ V^* V∗上的一个函数 x ∗ ∗ x^{**} x∗∗满足： x ∗ ∗ ( f ) = f ( x ) x^{**}(f)=f(x) x∗∗(f)=f(x)，则 x ∗ ∗ ∈ V ∗ ∗ x^{**} \in V^{**} x∗∗∈V∗∗。
定理： V V V为线性空间，则 σ : V → V ∗ ∗ \sigma: V \to V^{**} σ:V→V∗∗为同构映射。
双线性函数的定义：
V
V
V是数域
F
F
F上的线性空间，二元映射
σ
:
V
×
V
→
F
\sigma: V \times V\to F
σ:V×V→F满足：
1、
f
(
α
,
k
1
β
1
+
k
2
β
2
)
=
k
1
f
(
α
,
β
1
)
+
k
2
f
(
α
,
β
2
)
f(\alpha,k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2) = k_1 f(\alpha,\beta_1) + k_2 f(\alpha,\beta_2)
f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2)
2、
f
(
k
1
β
1
+
k
2
β
2
,
α
)
=
k
1
f
(
β
1
,
α
)
+
k
2
f
(
b
e
t
a
2
,
α
)
f(k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2, \alpha) = k_1 f(\beta_1,\alpha) + k_2 f(beta_2, \alpha)
f(k1β1+k2β2,α)=k1f(β1,α)+k2f(beta2,α)
α
,
β
1
,
β
2
∈
V
,
k
1
,
k
2
∈
F
\alpha,\beta_1,\beta_2\in V, k_1, k_2 \in F
α,β1,β2∈V,k1,k2∈F
双线性函数举例：
1、欧式空间的内积
2、
f
(
X
,
Y
)
=
X
T
A
Y
f(X,Y) = X^TAY
f(X,Y)=XTAY，其中
A
,
X
,
Y
∈
F
n
A, X,Y \in F^n
A,X,Y∈Fn
3、
f
(
α
,
β
)
=
f
1
(
α
)
f
2
(
β
)
f(\alpha,\beta)=f_1(\alpha)f_2(\beta)
f(α,β)=f1(α)f2(β)，其中
f
1
,
f
2
f_1,f_2
f1,f2是
V
V
V上的线性函数，
α
,
β
∈
V
\alpha,\beta\in V
α,β∈V
度量矩阵的定义： ϵ 1 , . . . , ϵ 2 \epsilon_1,...,\epsilon_2 ϵ1,...,ϵ2为 n n n维线性空间 V V V的一组基， f f f是 V V V上的双线性函数，则 A = [ f ( ϵ i , ϵ j ) ] n × n A=[f(\epsilon_i, \epsilon_j)]_{n\times n} A=[f(ϵi,ϵj)]n×n称为 f f f在该组基下的度量矩阵。
如果
∀
β
∈
V
,
f
(
α
,
β
)
=
0
\forall \beta \in V, f(\alpha,\beta)=0
∀β∈V,f(α,β)=0，可推出
α
=
0
\alpha=0
α=0，则称该双线性函数
f
f
f为非退化的。
如果
f
(
α
,
β
)
=
f
(
β
,
α
)
f(\alpha,\beta)=f(\beta, \alpha)
f(α,β)=f(β,α)，则称该双线性函数
f
f
f为对称的。
如果
f
(
α
,
β
)
=
−
f
(
β
,
α
)
f(\alpha,\beta)=-f(\beta, \alpha)
f(α,β)=−f(β,α)，则称该双线性函数
f
f
f为反对称的。
V
V
V是数域
F
F
F上的线性空间，
在
V
V
V上定义了一个非退化的双线性函数
f
f
f，则称
V
V
V为双线性度量空间；
在
V
V
V上定义了一个对称且非退化的双线性函数
f
f
f，则称
V
V
V为正交空间；
V
V
V为
n
n
n维的，在
V
V
V上定义了一个对称且非退化的双线性函数
f
f
f，则称
V
V
V为准欧式空间；
在
V
V
V上定义了一个反对称且非退化的双线性函数
f
f
f，则称
V
V
V为辛空间。