求解插值多项式及余项表达式
例
求满足 P ( x j ) = f ( x j ) P(x_j) = f(x_j) P(xj)=f(xj) ( j = 0 , 1 , 2 j=0,1,2 j=0,1,2) 及 P ′ ( x 1 ) = f ′ ( x 1 ) P'(x_1) = f'(x_1) P′(x1)=f′(x1) 的插值多项式及其余项表达式。
解：
由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式。此多项式通过点
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1))
(x0,f(x0)),(x1,f(x1))及
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
(x_2,f(x_2))
(x2,f(x2))，故形式为
P
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
[
x
0
,
x
1
]
(
x
−
x
0
)
+
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
A
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
P(x) = f(x_0) + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+ A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2),
其中A为待定常数，可由条件 P ′ ( x 1 ) = f ′ ( x 1 ) P'(x_1) = f'(x_1) P′(x1)=f′(x1)确定
A = f ′ ( x 1 ) − f [ x 0 , x 1 ] − ( x 1 − x 0 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) A=\frac{f'(x_1)-f[x_0,x_1]-(x_1-x_0)f[x_0,x_1,x_2]}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} A=(x1−x0)(x1−x2)f′(x1)−f[x0,x1]−(x1−x0)f[x0,x1,x2]
为求出余项
R
(
x
)
=
f
(
x
)
−
P
(
x
)
R(x)=f(x)-P(x)
R(x)=f(x)−P(x)的表达式,设
R
(
x
)
=
f
(
x
)
−
P
(
x
)
=
K
(
x
)
(
x
−
x
0
)
2
(
x
−
x
1
)
2
(
x
−
x
2
)
R(x) = f(x)-P(x) = K(x)(x-x_0)^2(x-x_1)^2(x-x_2)
R(x)=f(x)−P(x)=K(x)(x−x0)2(x−x1)2(x−x2)
其中 K ( x ) K(x) K(x)为待定函数。
构造
φ
(
t
)
=
f
(
t
)
−
P
(
t
)
−
K
(
x
)
(
t
−
x
0
)
2
(
t
−
x
1
)
2
(
t
−
x
2
)
\varphi(t) = f(t)-P(t)-K(x)(t-x_0)^2(t-x_1)^2(t-x_2)
φ(t)=f(t)−P(t)−K(x)(t−x0)2(t−x1)2(t−x2)
显然 φ ( x j ) = 0 ( j = 0 , 1 , 2 ) \varphi(x_j)=0(j=0,1,2) φ(xj)=0(j=0,1,2)，且 φ ′ ( x 1 ) = 0 , φ ( x ) = 0 \varphi'(x_1)=0,\varphi(x)=0 φ′(x1)=0,φ(x)=0，故 φ ( t ) \varphi(t) φ(t)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有五个零点(重根算两个)。
由Rolle 定理，
φ
(
4
)
(
t
)
\varphi^{(4)}(t)
φ(4)(t)在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内至少有一个零点
ξ
\xi
ξ，故
φ
(
4
)
(
ξ
)
=
f
(
4
)
(
ξ
)
−
4
!
K
(
x
)
=
0
\varphi^{(4)}(\xi)=f^{(4)}(\xi)-4!K(x)=0
φ(4)(ξ)=f(4)(ξ)−4!K(x)=0
于是
K
(
x
)
=
f
(
4
)
(
ξ
)
/
4
!
K(x)=f^{(4)}(\xi)/4!
K(x)=f(4)(ξ)/4!，余项表达式为
R
(
x
)
=
f
(
4
)
(
ξ
)
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
2
(
x
−
x
2
)
/
4
!
R(x)=f^{(4)}(\xi)(x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2)/4!
R(x)=f(4)(ξ)(x−x0)(x−x1)2(x−x2)/4!
其中
ξ
\xi
ξ位于
x
0
,
x
1
,
x
2
x_0,x_1,x_2
x0,x1,x2和
x
x
x所界定的范围内.