R²决定系数
R 2 R^2 R2（决定系数）是一个用于衡量统计模型拟合数据的指标，通常用于线性回归分析。它表示模型所解释的因变量（目标变量）方差的比例，范围从0到1。
更具体地说， R 2 R^2 R2告诉我们模型能够解释因变量变化的百分比。当 R 2 R^2 R2接近1时，模型能够很好地拟合数据，因为它能够解释大部分因变量的变化。当 R 2 R^2 R2接近0时，模型无法很好地拟合数据，因为它不能解释因变量的变化。
R
2
R^2
R2的公式如下：
R
2
=
1
−
S
S
R
S
S
T
R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST}
R2=1−SSTSSR
其中：
- R 2 R^2 R2：决定系数
- SSR（Sum of Squares Residual）：残差平方和，表示模型预测值与实际观测值之间的差异的总和。
- SST（Total Sum of Squares）：总平方和，表示因变量的总变差，即实际观测值与因变量均值之间的差异的总和。
为了更好地理解 R 2 R^2 R2，让我们通过一个通俗易懂的例子来说明：
假设你是一名销售经理，想要建立一个线性回归模型，来预测每月销售额与广告投入的关系。你收集了12个月的数据，如下：
| 月份 | 广告投入（万元） | 销售额（万元） |
|---|---|---|
| 1 | 2.0 | 10.1 |
| 2 | 2.5 | 12.5 |
| 3 | 3.0 | 13.0 |
| 4 | 3.5 | 14.3 |
| 5 | 4.0 | 15.2 |
| 6 | 4.5 | 16.0 |
| 7 | 5.0 | 16.8 |
| 8 | 5.5 | 18.1 |
| 9 | 6.0 | 18.5 |
| 10 | 6.5 | 19.6 |
| 11 | 7.0 | 20.5 |
| 12 | 7.5 | 21.2 |
你建立了一个线性回归模型，拟合出如下的方程：
销售额
=
2.5
∗
广告投入
+
5.0
销售额 = 2.5 * 广告投入 + 5.0
销售额=2.5∗广告投入+5.0
现在，让我们计算 R 2 R^2 R2来评估模型的拟合质量。
首先，计算SST（总平方和）：
SST = Σ(销售额 - 销售额均值)²
= (10.1 - 16.675)² + (12.5 - 16.675)² + … + (21.2 - 16.675)²
≈ 121.35
接下来，计算SSR（残差平方和），即模型预测值与实际销售额之间的差异的总和：
SSR = Σ(实际销售额 - 模型预测值)²
= (10.1 - (2.5 * 2.0 + 5.0))² + (12.5 - (2.5 * 2.5 + 5.0))² + … + (21.2 - (2.5 * 7.5 + 5.0))²
≈ 23.05
现在，使用R²的公式计算
R
2
R^2
R2：
R
2
=
1
−
S
S
R
S
S
T
=
1
−
23.05
121.35
≈
0.810
R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{23.05}{121.35} ≈ 0.810
R2=1−SSTSSR=1−121.3523.05≈0.810
这意味着你的模型能够解释销售额变化的大约81%。这是一个相对较高的 R 2 R^2 R2值，表明你的模型相对准确地拟合了数据，广告投入对销售额有较强的解释能力。