Eigen 库实现最小二乘算法（Least Squares）

一、最小二乘法基本原理

给定一个超定方程组 $Ax=b$，当 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n},m>n$ 时，一般无法精确解出 $x$。因此我们寻找一个使残差 $\Vert Ax-b{\Vert }_2^2$ 最小的解。

其解析解为：

$$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$$

或者使用更稳定的方式：

• QR分解
• SVD分解

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二、基于 Eigen 的最小二乘解法

方法1：正规方程（Normal Equation）

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace Eigen;int main() {MatrixXd A(4, 2);  // 超定方程，4个点拟合一个一次函数 y = ax + bVectorXd b(4);A << 1, 1,2, 1,3, 1,4, 1;b << 6, 5, 7, 10;// 求解 x = (A^T A)^{-1} A^T bVector2d x = (A.transpose() * A).inverse() * A.transpose() * b;std::cout << "Least Squares Solution (a, b): " << x.transpose() << std::endl;return 0;
}

说明：适用于小规模数据，数值不稳定时不推荐。

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方法2：QR 分解法（推荐）

Vector2d x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);

更稳定可靠，效率也好。支持大型数据处理。

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方法3：SVD 分解（最稳健）

Vector2d x = A.bdcSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b);

适合矩阵奇异或接近奇异的情况（如点分布退化等）。

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三、完整最小二乘拟合一元线性函数示例（y = ax + b）

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
#include <vector>int main() {using namespace Eigen;std::vector<double> x_data = {1, 2, 3, 4, 5};std::vector<double> y_data = {2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1};const int N = x_data.size();MatrixXd A(N, 2);VectorXd b(N);for (int i = 0; i < N; ++i) {A(i, 0) = x_data[i];A(i, 1) = 1.0;       // 常数项b(i)    = y_data[i];}// 求解最小二乘（推荐 QR）Vector2d result = A.colPivHouseholderQr().solve(b);std::cout << "拟合直线: y = " << result(0) << " * x + " << result(1) << std::endl;return 0;
}

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四、拓展：非线性最小二乘可通过迭代（如高斯-牛顿）

如拟合非线性模型 $y=\exp (ax+b)$，需使用迭代优化，比如：

• 高斯-牛顿法
• Levenberg-Marquardt 法（Ceres/GTSAM 使用）

Eigen 本身不含自动求导工具，但可以配合手动 Jacobian 实现。