NIPS-2013《Distributed PCA and $k$-Means Clustering》

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核心思想

该论文的核心思想是将主成分分析（PCA）与分布式$k$-均值聚类相结合，提出一种分布式PCA算法，用于处理大规模高维数据的分布式聚类问题。论文解决了分布式环境中高维数据通信成本高的问题，通过以下步骤实现：

1. 分布式PCA降维：在每个分布式节点上进行局部PCA，将高维数据投影到低维空间，降低通信成本。
2. 全局PCA整合：基于局部PCA的结果，构建全局协方差矩阵，提取全局主成分，进一步投影数据。
3. 结合分布式核集（coreset）：在降维后的数据上应用分布式核集构造方法，生成数据摘要，从而在不牺牲聚类质量的情况下显著降低通信成本。
4. 理论保证：证明降维后的数据在$k$-均值聚类中的近似解与原始数据的解在误差范围内接近。

该方法的关键创新在于，投影后的数据的$k$-均值聚类成本与原始数据接近，且通信成本与原始数据的大小和维度无关。这对于分布式数据库、传感器网络等需要处理大规模高维数据的场景尤为重要。

目标函数

论文的目标函数是$k$-均值聚类的目标函数，定义为最小化数据集$P\subseteq {\mathbb{R}}^d$到$k$个聚类中心的平方欧几里得距离之和：
$$\mathrm{cost}(P,\mathbf{x})=\sum _{p\in P}d(p,\mathbf{x}{)}^2,\text{其中}d(p,\mathbf{x})=\underset{x\in \mathbf{x}}{\min }d(p,x),$$
其中 x = { x 1 , x 2 , … , x k } \mathbf{x} = \{x_1, x_2, \dots, x_k\} x={x1​,x2​,…,xk​}是$k$个聚类中心的集合，$d(p,x)$表示点$p$与中心$x$的欧几里得距离。

在分布式设置中，数据分布在$n$个节点上，每个节点$v_i$拥有局部数据集$P_i$，全局数据集为$P={\bigcup }_{i=1}^n{P}_i$。目标是优化全局的$\mathrm{cost}(P,\mathbf{x})$，同时最小化通信成本。

此外，分布式PCA的目标是通过降维保留数据的关键信息，确保投影数据$\hat{P}$的$k$-均值聚类成本满足：
$$(1-ϵ)\mathrm{cost}(P,\mathbf{x})\le \mathrm{cost}(\hat{P},\mathbf{x})+c_0\le (1+ϵ)\mathrm{cost}(P,\mathbf{x}),$$
其中$c_0\ge 0$是一个常数，$ϵ\in (0,1]$是误差参数。这表明投影数据上的聚类解是原始数据的$(1+ϵ)$近似解。

目标函数的优化过程

优化过程分为两个主要阶段：分布式PCA和分布式核集构建与聚类。

1. 分布式PCA优化

分布式PCA算法（算法1）通过以下步骤实现降维：

• 局部PCA：
  • 在每个节点$v_i$上，对局部数据集$P_i$进行奇异值分解（SVD）：$P_i=U_i{D}_i(E_i{)}^T$。
  • 保留前$t$个奇异值和对应的奇异向量，得到降维后的局部数据$P_i^{(t)}=U_i{D}_i^{(t)}(E_i{)}^T$，其中$D_i^{(t)}$是仅保留前$t$个奇异值的对角矩阵。
  • 每个节点广播$D_i^{(t)}$和前$t$个奇异向量$E_i^{(t)}$。
• 全局PCA：
  • 各节点利用接收到的$D_i^{(t)}$和$E_i^{(t)}$，计算局部协方差矩阵$S_i^{(t)}=(P_i^{(t)}{)}^T{P}_i^{(t)}$。
  • 汇总全局协方差矩阵$S^{(t)}={\sum }_{i=1}^n{S}_i^{(t)}$，并对其进行特征值分解：$S^{(t)}=E\Lambda E^T$。
  • 取前$t$个特征向量构成矩阵$E^{(t)}$，将局部数据$P_i^{(t)}$投影到$E^{(t)}$上，得到最终投影数据${\hat{P}}_i=P_i^{(t)}{E}^{(t)}(E^{(t)}{)}^T$。
  • 全局投影数据为${\hat{P}}^T=[{\hat{P}}_1^T,\dots ,{\hat{P}}_n^T]$。

优化目标是通过选择适当的投影维度$t$（满足$d-1\ge t\ge k+\lceil 50k/{ϵ}^2\rceil$），确保投影数据$\hat{P}$与原始数据$P$在$k$-均值聚类成本上的误差控制在$ϵ$范围内。

2. 分布式核集与$k$-均值聚类

• 在投影数据$\hat{P}$上应用文献[3]中的分布式核集构造算法，生成一个$ϵ$-核集$S$，其大小与原始数据维度和大小无关。
• 核集$S$满足：对于任意中心集$\mathbf{x}$，存在常数$c_0\ge 0$，使得
  $$(1-ϵ)\mathrm{cost}(P,\mathbf{x})\le \sum _{p\in S}w(p)\mathrm{cost}(p,\mathbf{x})+c_0\le (1+ϵ)\mathrm{cost}(P,\mathbf{x}),$$
  其中$w:S\to \mathbb{R}$是核集点的权重。
• 在核集$S$上运行$k$-均值聚类算法（如Lloyd算法），得到一个$\alpha$-近似解，进而通过核集的性质保证对原始数据的$(1+3ϵ)\alpha$-近似解。
• 通信成本分析：通信量主要包括局部PCA的广播（$O(m{t}^2)$）和核集构造的通信（$O(mnk\log (nk/\delta ))$），总通信成本为
  $$O\left(m\left(\frac{k^2}{{ϵ}^2}+\frac{1}{{ϵ}^2}\log \frac{1}{\delta }\right)+mnk\log \frac{nk}{\delta }\right),$$
  其中$m$是通信图的边数，$\delta$是失败概率。

主要贡献点

1. 提出分布式PCA算法：设计了一种分布式PCA算法，通过局部和全局PCA结合，显著降低高维数据的通信成本。
2. 理论保证：通过定理1和定理2，证明了投影数据的$k$-均值聚类成本与原始数据的成本在$(1\pm ϵ)$范围内接近，且所需投影维度$t$与原始维度$d$无关，仅依赖于聚类数$k$和误差$ϵ$。
3. 结合核集降低通信成本：将分布式PCA与核集方法结合，提出了一种通信成本与数据大小和维度无关的分布式$k$-均值聚类算法。
4. 实验验证：在真实数据集上验证了算法的有效性，展示了在大幅降低维度和通信成本的同时，聚类质量仅略有下降。

实验结果

实验在以下数据集上进行：

• Daily and Sports Activities：9210个点，维度5625，$k=10$。
• MNIST：70,000个点，维度784，$k=10$。
• Bag of Words (NYTimes)：300,000个点，维度102,660，$k=20$。

实验设置：

• 通信图：随机图（边概率0.3）和网格图（3×3或10×10）。
• 数据分布：通过加权分区将数据分配到节点，权重服从$|N(0,1)|$。
• 方法：对不同投影维度$t$，在投影数据上构建核集（使用[3]中的COMBINE或分布式核集算法），然后运行Lloyd算法，计算聚类成本与原始数据成本的比率。

结果：

• 图2展示了投影维度降低时$k$-均值成本（归一化后）与通信成本的关系。
• Daily and Sports Activities：当维度从5625降至40时，聚类成本仅增加不到4%。
• Bag of Words：维度从102,660降至约20时，成本增加幅度较小，通信成本大幅降低。
• 分布式核集算法在与分布式PCA结合时，性能优于COMBINE算法。
• 结论：算法在大幅降低通信成本的同时，保持了高质量的聚类结果，特别是在高维数据上效果显著。

算法实现过程详细解释

以下是对算法1（分布式PCA）的详细实现过程解释，结合数学推导和实现步骤：

1. 输入

• 局部数据集 { P i , 1 ≤ i ≤ n } \{P_i, 1 \leq i \leq n\} {Pi​,1≤i≤n}，每个$P_i\subseteq {\mathbb{R}}^d$是节点$v_i$上的数据矩阵，行表示数据点。
• 投影维度$t$，满足$d-1\ge t\ge k+\lceil 50k/{ϵ}^2\rceil$。

2. 局部PCA（Round 1）

• SVD分解：
  • 每个节点$v_i$对$P_i$进行SVD：$P_i=U_i{D}_i(E_i{)}^T$，其中：
    • $U_i$是左奇异向量矩阵，列为正交单位向量。
    • $D_i$是对角矩阵，包含非递增的奇异值$\sqrt{s_1},\dots ,\sqrt{s_d}$。
    • $E_i$是右奇异向量矩阵，列为正交单位向量。
  • 保留前$t$个奇异值，构造$D_i^{(t)}$，其中前$t$个对角元素为$D_i$的奇异值，其余为0。
  • 计算降维后的局部数据：$P_i^{(t)}=U_i{D}_i^{(t)}(E_i{)}^T$。
  • 提取$E_i$的前$t$列，得到$E_i^{(t)}$。
• 通信：
  • 每个节点广播$D_i^{(t)}$和$E_i^{(t)}$到所有其他节点（通过ANNOUNCE操作）。
  • 通信成本：每个节点广播$t$个奇异值和$t\times d$矩阵$E_i^{(t)}$，总通信量为$O(m{t}^2)$，其中$m$是通信图边数。

3. 全局PCA（Round 2）

• 计算局部协方差矩阵：
  • 每个节点利用收到的$D_i^{(t)}$和$E_i^{(t)}$，计算$S_i^{(t)}=(P_i^{(t)}{)}^T{P}_i^{(t)}$。
  • 由于$P_i^{(t)}=U_i{D}_i^{(t)}(E_i{)}^T$，且$U_i$具有正交列，计算简化为：
    $$S_i^{(t)}=(P_i^{(t)}{)}^T{P}_i^{(t)}=(E_i^{(t)}{D}_i^{(t)}{U}_i^T)(U_i{D}_i^{(t)}(E_i{)}^T)=E_i^{(t)}(D_i^{(t)}{)}^2(E_i^{(t)}{)}^T。$$
• 汇总全局协方差矩阵：
  • 各节点计算全局协方差矩阵：$S^{(t)}={\sum }_{i=1}^n{S}_i^{(t)}$。
• 特征值分解：
  • 对$S^{(t)}$进行特征值分解：$S^{(t)}=E\Lambda E^T$，其中$\Lambda$是对角矩阵，包含特征值，$E$是特征向量矩阵。
  • 取前$t$个特征向量，构成$E^{(t)}$。
• 投影：
  • 将局部数据$P_i^{(t)}$投影到$E^{(t)}$上：${\hat{P}}_i=P_i^{(t)}{E}^{(t)}(E^{(t)}{)}^T$。
  • 全局投影数据为${\hat{P}}^T=[{\hat{P}}_1^T,\dots ,{\hat{P}}_n^T]$。

4. 输出

• 输出投影后的全局数据集$\hat{P}$，维度为$t$，可用于后续的分布式核集构造和$k$-均值聚类。

5. 理论保证

• 定理1：对于任意$d\times j$正交矩阵$X$，投影数据满足：
  $$0\le \Vert PX{\Vert }_2^2-\Vert \hat{P}X{\Vert }_2^2\le ϵd^2(P,L(X)),0\le \Vert PX-\hat{P}X{\Vert }_2^2\le ϵd^2(P,L(X)),$$
  其中$L(X)$是$X$列张成的子空间，$t\ge j+\lceil 4j/ϵ\rceil -1$。
• 证明思路：
  • 局部PCA误差：由引理1（来自[8]）保证，$P_i$到$P_i^{(t)}$的投影误差满足$\Vert P_{i}X{\Vert }_2^2-\Vert P_i^{(t)}X{\Vert }_2^2\le ϵd^2(P_i,L(X))$。
  • 全局PCA误差：类似地，$P^{(t)}$到$\hat{P}$的投影误差满足$\Vert P^{(t)}X{\Vert }_2^2-\Vert \hat{P}X{\Vert }_2^2\le ϵ(1+ϵ)d^2(P,L(X))$。
  • 综合两步误差，得到定理1的结论。
• 定理2：投影数据$\hat{P}$的$k$-均值成本满足：
  $$(1-ϵ)\mathrm{cost}(P,\mathbf{x})\le \mathrm{cost}(\hat{P},\mathbf{x})+c_0\le (1+ϵ)\mathrm{cost}(P,\mathbf{x}),$$
  其中$t\ge k+\lceil 50k/{ϵ}^2\rceil$。这保证了投影数据的聚类解是原始数据的近似解。

6. 后续处理

• 在$\hat{P}$上应用分布式核集算法[3]，生成大小与维度无关的核集$S$。
• 在$S$上运行$k$-均值算法，得到近似解，通信成本显著降低。

总结

该论文通过分布式PCA和核集的结合，解决了分布式$k$-均值聚类中的高维数据通信成本问题。算法通过局部和全局PCA降维，结合核集构造，实现了与数据大小和维度无关的通信成本，同时理论上保证了聚类质量。实验结果验证了算法在真实数据集上的有效性，特别是在高维数据场景下，通信成本降低显著，聚类成本增加极小。