矩阵方程$Ax=b$的初步理解.

  对于矩阵方程$A\text{x}=\text{b}$，可能就是一学而过，也可能也就会做做题，但是从如何直观地理解它呢?
  这个等式可以用多种理解方式，这里就从向量变换角度浅谈一下。其中的$A$是矩阵，可以理解为变换系数，而对于$\text{x}$和$\text{b}$而言，则是向量.向量$\text{x}$经过矩阵$A$的变换，变成了向量$\text{b}$，这是最简单直观的理解。可是要深入剖析，就需要深入理解向量。下面的内容是我昨天解决了之前关于向量的一个困惑点，今天早上又思考了一下矩阵方程$A\text{x}=\text{b}$切实意义后写出来的，很新鲜，但是缺少图片讲解。当然，下面分析只是我深入理解线性代数的学习过程，出现错误在所难免，仅供参考.
  在此之前，先说一说向量方面的困惑点。高中时期做题，对于$\overrightarrow{AB}$而言，求解其向量坐标的方法就是$B$点坐标减去$A$点坐标，然后得到了一个类似点坐标的坐标，其实就是向量坐标。当时只知道这么去做，但是这么去做的原因并不清楚。深入理解需要从物理中位移矢量角度讲解比较好，但这里就不涉及了。
  昨天看书的时候，又看到了向量方程的定义，摘要到下面。

${\mathbb{R}}^2$中的向量
仅含一列的矩阵成为列向量，或简称向量。包含两个元素的向量如下所示.
$$\text{u}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& 3\\ -& 1\end{array}\end{array}\right],\text{v}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& 0.2\\ -& 0.3\end{array}\end{array}\right],\text{w}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& w_1\\ & w_2\end{array}\end{array}\right]$$
其中$w_1$,$w_2$表示任意实数.所有两个元素的向量的集记为${\mathbb{R}}^2$，$\mathbb{R}$表示向量中的元素是实数，而指数$2$表示每个向量包含两个元素。

  深入理解加黄的这句话之前，先说一说我所了解的知识.之前学概率论的时候，又重新学习了集合相关内容.集合中有${\mathbb{R}}^n$的表述方式，而单单讨论集合中的$\mathbb{R}$的话，就代表实数域，高中时期就学过，不过当时$\text{R}$表示的，而大学书中，经常用$\mathbb{R}$来表示，其实是一样的(至少目前我是这么认为的)。大学学概率论分析集合的时候，有了一种突破性见解，就是集合可以抽象成坐标系。所以对于实数域$\mathbb{R}$而言，可以直接抽象成$x$轴，如果增加一个维度，则对于平面${\mathbb{R}}^2$来说，其含义是$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$，也就是两个实数域$\mathbb{R}$的笛卡尔积(笛卡尔积是在离散数学中学的，但当时不知道有什么应用，后来才知道，在组建坐标系的时候很有用处，如果不清楚笛卡尔积的话可以去了解一下)。如果我们将两个$\mathbb{R}$分别对应$x、y$轴,那么对于笛卡尔坐标系，在平面中其点坐标实际上就是$x、y$轴对应点($x$,$y$)(也就是对应实数域集合中的笛卡尔积)。其实深入理解，还需要再去说函数、映射等等，这并不在今天的讨论中。如果看不懂上面说的，只需要知道，实数域集合可以抽象成坐标轴就行。
  在此基础之上，我们再来看看概念中加黄的话 $\mathbb{R}$表示向量中的元素是实数，而指数$2$表示每个向量包含两个元素。 如果按照之前的抽象，这里其实可以将坐标轴中的$x、y$轴抽象成向量(思考一下，我们画坐标轴的时候，总会在$x、y$的正方向画个箭头，不就代表着方向吗？)。为了方便，我们就仅讨论正交的笛卡尔坐标系。
  笛卡尔坐标系下的任意一点坐标，可以用两种方法解释，第一种就是上述概率论中，将实数域集合抽象成坐标轴，然后坐标轴上所有的$x,y$点，通过笛卡尔积的计算方式，建立起笛卡尔坐标系中所有的点坐标.整个平面是通过一个一个点组合而成的。注意，我们之前强调了是实数域，包括所有有理数和无理数，所有点的组合就是完整平面。
  另一个解释方法就是将坐标系抽象成向量，为了方便讲解向量构成的平面，这里默认向量的起点是坐标轴原点，沿$x,y$正方向规定向量方向为正，负方向则规定方向为负。所以，此时坐标轴上，并不会再用集合中点的笛卡尔积的方式构建平面了，而是采用基础的向量的加法、减法方式构建。我们先来看$x$轴上的点$A$所组成的向量$\overrightarrow{OA}$，由于起点为原点，所以向量的$x$坐标就是以其终点$A$的$x$坐标为主，这么来看的话，其实在$x$轴上，可以任意伸缩的向量$\overrightarrow{OA}$的向量坐标，其实就是$A$的$x$坐标，这么来看，将原点默认为向量起点的话，可以将复杂的向量问题转化为点的问题。那么平面中任意一点$B$的点坐标，可以通过其与坐标原点$O$组成的向量$\overrightarrow{OB}$分解，分解为沿$x,y$轴方向的子向量$\overrightarrow{O{B}_X}$和$\overrightarrow{O{B}_y}$，由于笛卡尔坐标系是正交系，所以对应的$x、y$值所组成的数值对$(x,y)$就是$\overrightarrow{OB}$的向量坐标，而由于其起点为原点，所以向量坐标就是$B$点坐标。加黄话中强调了元素是实数，所以对于平面中所有的点，都能通过这种方式构建，自然组成了${\mathbb{R}}^2$平面。(对于${\mathbb{R}}^2$具体解释，由于参考资料有限，我也不清楚具体细节，只能从简思考)
  通过上面解释，我们知道了，从向量角度构建的坐标系，以坐标原点为向量起点的好处。但不过，并没有解释为何$\overrightarrow{OA}$的向量坐标是以$A$点坐标减$O$点坐标，一开始也说了"深入理解需要从物理中位移矢量角度讲解比较好，但这里就不涉及了。 "，所以具体原因自己查阅。那么如何解释$\overrightarrow{AB}$形成原因呢？从分解角度来讲，我们仍然可以将$\overrightarrow{AB}$分解到$x、y$轴上，然后做简单的加减运算就好。另一方面，我们也可以将其与坐标原点建立起来关系，就是$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，然后再按照我们上述的基础分解角度，再通过简单加减运算，也就得到了$\overrightarrow{AB}$的向量坐标了.当然，我们也可以将默认的向量起点坐标原点换成$A$点，这样也就能直接解释了。
  上面的内容就是我昨天明白了的内容，这也只是深入线性代数的基础。在此基础上，再来说说今天明白了的$A\text{x}=\text{b}$。
  还是先从线性方程组入手说明。对于初中的二元一次方程组
$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{rl}x+y& =1\\ 2x+y& =3\end{array}\end{array}$$
  可以很容易地解出来，而且也可通过图像直观地看出来，其解为对应直线的交点。当然，图像所对应的坐标系是集合所组成的笛卡尔坐标系。那么我们可否直接将其中的$x、y$视为向量，从而获得其向量组成的笛卡尔坐标系下的图像呢？我们来分析一下。如果$x、y$是向量，那么向量加向量，肯定也等于向量，但不幸的是，等号右侧是一个数，标量，并不是向量。但不过可以通过一种巧妙的方式，将其转化为向量，也就是$A\text{x}=\text{b}$的方式。其中$A$是系数矩阵，也就是
$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$$
  而变量$x,y$用向量方式表示
$$\left[\begin{array}{c}\text{x}\\ \text{y}\end{array}\right]$$
  等号右侧也为向量
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$$

  综合来看的话，就是
$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{x}\\ \text{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$$
  这是显而易见的，因为书上就是这么讲的。而一开始我所讲解的向量的理解，这里向量坐标$(\text{x},\text{y}{)}^{\prime }$(这里的${}^{\prime }$是转置的意思，也就是将列向量变为行向量，这里是为了与上面表达一致)，其实就是${\mathbb{R}}^2$向量空间中，以原点为起点，坐标为$(x,y)$的点所组成的向量(这里应该贴个图片，方便理解，但是没有制作)，自然，向量坐标$(1,3{)}^{\prime }$则是原点与点坐标$(1,3)$所组成的向量。向量$(\text{x},\text{y}{)}^{\prime }$经过矩阵$A$的系列作用，变成了向量$(1,3{)}^{\prime }$，由于起点是坐标原点，其实也就是将集合域笛卡尔坐标系下的点$(x,y)$，经过一定的变换，变成了点$(1,3)$。其实也可以分解向量$(\text{x},\text{y}{)}^{\prime }$到$x,y$轴上，分析矩阵$A$对子向量$(\text{x},\text{0}{)}^{\prime }$和$(\text{0},\text{y}{)}^{\prime }$的作用，其作用后的子向量，叠加后一定是$(1,3{)}^{\prime }$。
  明白了上述问题，对于学习线性代数，或许会有很大很大的帮助。思考维度增加，见解也就不同。但是想要深入理解线性代数，单纯看些文章、博客肯定是远远不够的，需要很多的积累，而且必须有自己独立的思考。每个人学习层次、掌握的知识不同，理解线性代数的方式、方法肯定也不同。上面我写的内容也仅限于我自己的理解，肯定也会有误，但是否适合你，我也不清楚，所以最后想要真正理解线性代数，还是需要考你自己。
  通过图片形式表示的方式更加直观，但确实没太有时间制作。据说mit的线性代数Strang教师对$A\text{x}=\text{b}$有独到见解，不过我没听过，大家有机会可以去看看他的理解。