（泛函分析）线性算子谱的定义，谱的分类，谱的性质。

一、定义

设 $X$ 为复 Banach 空间，$T:D(T)\subseteq X\to X$ 为闭线性算子，称复数 $\lambda \in \mathbb{C}$ 属于 $T$ 的预解集 $\rho (T)$，若满足：

1. $\lambda I-T$ 是单射（$I$ 为恒等算子）；
2. $\lambda I-T$ 的值域 $R(\lambda I-T)=X$；
3. $(\lambda I-T{)}^{-1}$ 存在且为有界线性算子。

谱集 $\sigma (T)$ 定义为预解集的补集：
$$\sigma (T)=\mathbb{C}\setminus \rho (T).$$

根据算子 $\lambda I-T$ 的性质，谱分为三类：

1. 点谱（Point Spectrum）${\sigma }_p(T)$

• 定义：$\lambda \in {\sigma }_p(T)$ 当且仅当存在非零 $x\in D(T)$，使得 $Tx=\lambda x$。
• 特点：
  • 此时 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，对应非平凡解的存在性。
  • 点谱中的每个 $\lambda$ 对应至少一个非零特征向量 $x$。
  • 在有限维空间中，谱完全由点谱构成（即所有谱点都是特征值）。
• 例子：
  • 矩阵 $A$ 的特征值属于点谱。
  • 无限维空间中的紧算子（如希尔伯特空间上的紧自伴算子）的非零谱点均为点谱。

2. 连续谱（Continuous Spectrum）${\sigma }_c(T)$

• 定义：$\lambda \in {\sigma }_c(T)$ 当且仅当：
  • $\lambda I-T$ 是单射（无非零解）；
  • $R(\lambda I-T)$ 在 $X$ 中稠密；
  • $(\lambda I-T{)}^{-1}$ 无界。
• 特征：算子不可逆，但值域稠密且逆算子无界。
• 例子：
  • 乘法算子 $Tf(x)=xf(x)$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 上的谱为 $\mathbb{R}$，且所有点均为连续谱。

3. 剩余谱（Residual Spectrum）${\sigma }_r(T)$

• 定义：$\lambda \in {\sigma }_r(T)$ 当且仅当：
  • $\lambda I-T$ 是单射；
  • $R(\lambda I-T)$ 在 $X$ 中不稠密。
• 特点：
  • 算子不可逆，且值域不稠密。
  • 在自伴算子中，剩余谱通常为空。
• 例子：
  • 非自伴算子可能具有剩余谱，例如右移算子 $S$ 在 ${\ell }^2(\mathbb{N})$ 上的谱中，$|\lambda |<1$ 的点属于剩余谱。

4.三种谱的关系

$$\sigma (T)={\sigma }_p(T)\cup {\sigma }_c(T)\cup {\sigma }_r(T).$$

二、谱的性质

1. 基本性质

• 非空性：
  • 有界线性算子的谱 $\sigma (A)$ 总是非空的（即使在无限维空间中）。
  • 无界算子的谱可能为空（如某些非闭算子）。
• 紧性：
  • 对于有界算子 $A$，谱 $\sigma (A)$ 是紧集（即闭且有界）。
  • 对于无界算子，谱可能是非紧的（如无界自伴算子的谱为实轴 $\mathbb{R}$）。
• 对称性：
  • 若 $A$ 是自伴算子（$A=A^{\ast }$），则谱 $\sigma (A)\subset \mathbb{R}$。
  • 若 $A$ 是正规算子（$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$），则谱 $\sigma (A)$ 在复平面上对称于实轴。
• 谱的闭性：
  • 谱集 $\sigma (T)$ 是复平面中的紧集（对有界算子）。
  • 预解集 $\rho (T)$ 是开集。
• 谱映射定理：
  • 若 $f$ 为解析函数，则 $\sigma (f(T))=f(\sigma (T))$（在适当意义下）。

2. 谱的拓扑性质

• 开映射定理：
  • 若 $A$ 是闭算子，且 $\lambda \in \rho (A)$（正则点），则 $R_{\lambda }(A)$ 是有界线性算子。
• 谱半径：
  • 对于有界算子 $A$，谱半径 r ( A ) = sup ⁡ { ∣ λ ∣ : λ ∈ σ ( A ) } r(A) = \sup\{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \} r(A)=sup{∣λ∣:λ∈σ(A)} 满足：
    $$r(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A^n{\Vert }^{1/n}.$$

3. 谱的结构

• 紧算子的谱：
  • 紧算子的非零谱点均为点谱，且谱为可数集（可能有极限点 0）。
  • 示例：Hilbert-Schmidt 算子的谱为离散点集。
• 自伴算子的谱：
  • 自伴算子的谱全为实数，且剩余谱为空。
  • 根据谱定理，自伴算子可分解为投影算子的积分（谱分解）。

4. 谱的扰动性质

• 连续依赖性：
  • 算子 $A$ 的谱 $\sigma (A)$ 在扰动下连续变化（如 $A+ϵB$ 的谱随 $ϵ\to 0$ 收敛到 $\sigma (A)$）。
• 稳定性：
  • 对于紧扰动（如 $A+K$，其中 $K$ 是紧算子），谱的结构可能保持稳定（如 Fredholm 算子的谱理论）。

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三、谱的应用

1. 量子力学

• 哈密顿算子 $H$ 的谱对应系统的能量本征值。
• 连续谱对应自由态（如粒子的传播），点谱对应束缚态（如原子能级）。
• 观测量的可能取值对应自伴算子的谱。

2. 信号处理

• 傅里叶变换和小波变换的谱分析用于信号的频率分解和滤波设计。
• 算子的谱特性决定了系统的稳定性（如滤波器的收敛性）。

3. 微分方程

• 偏微分方程的特征值问题（如波动方程、热传导方程）的谱分析提供了解的存在性和唯一性条件。
• Sturm-Liouville 问题的谱分析对应算子谱的离散性。

4. 数值分析

• 矩阵的谱半径决定了迭代法的收敛速度。
• 算子的谱分解用于构造高效的数值算法（如共轭梯度法）。