AtCoder AT_abc407_c [ABC407C] Security 2

题目大意

有一个空串 $t$ 和一个目标串 $S$，每次执行下面两个操作中的任意一个：

• 在 $t$ 的末位添一个 $0$，如 $407$ 变成 $4070$。
• 将 $t$ 中的所有数字变成它的“下一个”，其中“$a$ 的下一个（$a$ 是数字）”指的是 $(a+1)\mathrm{mod}10$ 的值。例：$1029$ 变成 $2130$。

问最少多少次操作可以达到目标串。

思路

为了方便，我们令 $N$ 表示 $S$ 的长度。

观察数据范围，$N\le 5\times 10^5$ 很大，需要一个 $O(N)$ 的做法。然后我们发现了一个突破点：每添加一个数字之后，必须立刻调整整个数组的大小，然后再添加下一个。那么现在问题就转化为了求每一次需要调整多少次。

显然，当数组长度为 $i$ 的时候，一定与第 $i$ 个数和第 $i+1$ 个数有关。发现是求差的关系（因为具体的值在最后一次添加后可以调整，但是差必须马上确定）。然后，我们来考虑一下最后一次添加后应该怎么调整。现在，我们得到了前 $N-1$ 个数的“相对数列”——所有的差都是固定的了，但是值随着最后的一组调整而改变。实际上，第 $N-1$ 个数和第 $N$ 个数的差也已经固定了，所以不用重复计算。那么需要的添加次数就是目标串中第 $N$ 个数字的值。

代码

AC 记录：Submission #66099456。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;int n; string s;
int f[500010];int main()
{cin >> s;n = s.size();s = " " + s + "0";for (int i = 1; i <= n; i++)f[i] = f[i - 1] + (s[i] - s[i + 1] + 10) % 10;cout << f[n] + n << endl;return 0;
}

总结

难度大约 $普及-$。