1.2 控制系统的数学模型
引言
本文针对《自动控制原理》第二章核心知识点，系统梳理微分方程建模、传递函数分析、结构图化简、非线性系统线性化及拉氏变换应用五大考点，帮助读者快速掌握控制系统数学模型的构建方法。附详细公式推导与典型例题分析框架。
考点一：微分方程建模方法
通过物理元件特性建立微分方程是控制系统建模的起点，核心元件方程如下：
| 元件 | 物理特性 | 微分方程 |
|---|---|---|
| 电容 | 存储电场能，阻碍电压突变 | i C ( t ) = C ⋅ d u C ( t ) d t i_C(t) = C \cdot \frac{du_C(t)}{dt} iC(t)=C⋅dtduC(t) |
| 电感 | 存储磁场能，阻碍电流突变 | u L ( t ) = L ⋅ d i L ( t ) d t u_L(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} uL(t)=L⋅dtdiL(t) |
| 运算放大器 | 虚短（ V + = V − V_+ = V_- V+=V−） 虚断（ i + = i − = 0 i_+ = i_- = 0 i+=i−=0） | 输入输出关系由外接电路决定 |
| 弹簧 | 胡克定律 | F = k x = k ⋅ ∫ v d t F = kx = k \cdot \int v dt F=kx=k⋅∫vdt v = 1 k d ξ d t v = \frac{1}{k} \frac{d\xi}{dt} v=k1dtdξ |
| 阻尼器 | 线性阻尼力 | 平动： F = f v F = fv F=fv 转动： F = f ω F = f\omega F=fω |
| 机械转动 | 牛顿第二定律 | M = J d ω d t = J d 2 θ d t 2 M = J \frac{d\omega}{dt} = J \frac{d^2\theta}{dt^2} M=Jdtdω=Jdt2d2θ |
| 直流电机 | 电枢电压与转速关系 | 电学方程： V ( t ) = R a i a ( t ) + L a d i a ( t ) d t + K b ω ( t ) V(t) = R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt} + K_b \omega(t) V(t)=Raia(t)+Ladtdia(t)+Kbω(t) 机械方程： K t i a ( t ) = J d ω ( t ) d t + B ω ( t ) K_t i_a(t) = J \frac{d\omega(t)}{dt} + B \omega(t) Ktia(t)=Jdtdω(t)+Bω(t) |
补充说明：
- 直流电机模型：输入为电枢电压 V ( t ) V(t) V(t)，输出为转速 ω ( t ) \omega(t) ω(t)
- R a R_a Ra：电枢电阻， L a L_a La：电枢电感
- K b K_b Kb：反电动势常数， K t K_t Kt：转矩常数（ K b = K t K_b = K_t Kb=Kt时单位统一）
- J J J：转动惯量， B B B：机械阻尼系数
- 联立方程可消去中间变量 i a ( t ) i_a(t) ia(t)，得到 V ( t ) V(t) V(t)与 ω ( t ) \omega(t) ω(t)的二阶微分方程：
L a J d 2 ω d t 2 + ( R a J + L a B ) d ω d t + ( R a B + K b K t ) ω = K t V ( t ) L_a J \frac{d^2\omega}{dt^2} + (R_a J + L_a B) \frac{d\omega}{dt} + (R_a B + K_b K_t)\omega = K_t V(t) LaJdt2d2ω+(RaJ+LaB)dtdω+(RaB+KbKt)ω=KtV(t)
建模步骤：
- 列写元件物理方程；
- 消除中间变量，得到输入输出的高阶微分方程。
考点二：传递函数定义与典型环节
1. 传递函数定义
- 数学形式： W ( s ) = C ( s ) R ( s ) W(s) = \frac{C(s)}{R(s)} W(s)=R(s)C(s)（零初始条件下输出与输入的拉氏变换比）
- 核心特性：仅由系统结构和参数决定，与输入信号无关。
2. 表示形式
| 形式 | 表达式 | 特点 |
|---|---|---|
| 零极点形式（首1型） | W ( s ) = K ∏ ( s + z i ) ∏ ( s + p j ) W(s) = K \frac{\prod (s+z_i)}{\prod (s+p_j)} W(s)=K∏(s+pj)∏(s+zi) | 分子分母为首项系数1的多项式 |
| 典型环节形式（尾1型） | W ( s ) = K s ⋅ 1 T s + 1 ⋅ ⋯ W(s) = \frac{K}{s} \cdot \frac{1}{Ts+1} \cdot \cdots W(s)=sK⋅Ts+11⋅⋯ | 由基本环节乘积组成 |
3. 典型环节分类
| 环节名称 | 传递函数 | 动态特性 |
|---|---|---|
| 积分环节 | 1 s \frac{1}{s} s1 | 输出累积输入信号 |
| 惯性环节 | 1 T s + 1 \frac{1}{Ts + 1} Ts+11 | 一阶滞后特性 |
| 振荡环节 | 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 \frac{1}{T^2s^2 + 2\zeta Ts + 1} T2s2+2ζTs+11 ( ζ < 1 \zeta < 1 ζ<1) | 欠阻尼振荡响应 |
| 一阶微分环节 | T s + 1 Ts + 1 Ts+1 | 增强高频信号 |
| 二阶微分环节 | T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 T^2s^2 + 2\zeta Ts + 1 T2s2+2ζTs+1 | 相位超前补偿 |
考点三：结构图化简与梅逊增益公式
梅逊增益公式
系统闭环传递函数可直接由前向通路和回路特性计算：
G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 1 Δ ∑ k = 1 n P k Δ k G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^n P_k \Delta_k G(s)=R(s)C(s)=Δ1k=1∑nPkΔk
- 参数定义：
- Δ = 1 − ∑ L a + ∑ L b L c − ∑ L d L e L f + ⋯ \Delta = 1 - \sum L_a + \sum L_bL_c - \sum L_dL_eL_f + \cdots Δ=1−∑La+∑LbLc−∑LdLeLf+⋯（系统特征式）
- P k P_k Pk：第 k k k条前向通道增益
- Δ k \Delta_k Δk：与第 k k k条前向通道不接触的回路余子式
应用步骤：
- 标识所有前向通路和独立回路；
- 计算回路增益并构造 Δ \Delta Δ；
- 对每条前向通路计算 Δ k \Delta_k Δk；
- 代入公式求解总传递函数。
考点四：非线性系统线性化方法
泰勒展开线性化
在平衡工作点 x 0 x_0 x0附近对非线性方程 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)进行泰勒展开并忽略高次项：
y ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) y≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)
- 适用条件：小偏差范围内近似有效；
- 物理意义：将非线性系统转化为线性增量方程。
考点五：拉普拉斯变换核心公式与定理
1. 常用t域-S域变换对
| 时域函数 | S域表达式 | 备注 |
|---|---|---|
| 单位脉冲 δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 | 理想瞬时信号 |
| 单位阶跃 1 ( t ) 1(t) 1(t) | 1 s \frac{1}{s} s1 | 稳态基准输入 |
| 斜坡函数 t t t | 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21 | 速度信号模拟 |
| 加速度函数 1 2 t 2 \frac{1}{2}t^2 21t2 | 1 s 3 \frac{1}{s^3} s31 | 加速度信号模拟 |
| 指数衰减 e − a t e^{-at} e−at | 1 s + a \frac{1}{s + a} s+a1 | 一阶系统响应特征 |
| sin ω t \sin\omega t sinωt | ω s 2 + ω 2 \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} s2+ω2ω | 正弦输入响应分析 |
| cos ω t \cos\omega t cosωt | s s 2 + ω 2 \frac{s}{s^2 + \omega^2} s2+ω2s | 余弦输入响应分析 |
2. 核心定理
| 定理名称 | 数学表达 | 应用场景 |
|---|---|---|
| 微分定理 | L [ d f d t ] = s F ( s ) − f ( 0 − ) \mathcal{L}\left[\frac{df}{dt}\right] = sF(s) - f(0^-) L[dtdf]=sF(s)−f(0−) | 微分方程转代数方程 |
| 积分定理 | L [ ∫ f ( t ) d t ] = 1 s F ( s ) + f ( − 1 ) ( 0 − ) s \mathcal{L}\left[\int f(t)dt\right] = \frac{1}{s}F(s) + \frac{f^{(-1)}(0^-)}{s} L[∫f(t)dt]=s1F(s)+sf(−1)(0−) | 积分项处理 |
| 终值定理 | lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) limt→∞f(t)=lims→0sF(s) | 稳态误差计算 |
| 位移定理 | L [ e − a t f ( t ) ] = F ( s + a ) \mathcal{L}[e^{-at}f(t)] = F(s + a) L[e−atf(t)]=F(s+a) | 含指数项的函数变换 |
| 时域尺度变换 | L [ f ( a t ) ] = 1 a F ( s a ) \mathcal{L}[f(at)] = \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) L[f(at)]=a1F(as) | 时间轴缩放问题分析 |
总结
- 微分方程建模需熟练掌握机电元件特性方程；
- 传递函数分析重点关注典型环节的时频特性；
- 梅逊公式需通过例题练习回路识别与前向通路计算；
- 线性化方法强调泰勒展开的平衡点选取；
- 拉氏变换建议结合常用变换对与定理推导综合练习。