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多元回归的假设检验

news 来源：原创 2025/5/23 12:09:20

本文是实验设计与分析（第6版，Montgomery著傅珏生译)第10章拟合回归模型第10.4节的python解决方案。本文尽量避免重复书中的理论，着于提供python解决方案，并与原书的运算结果进行对比。您可以从Detail 下载实验设计与分析（第6版，Montgomery著傅珏生译)电子版。本文假定您已具备python基础，如果您还没有python的基础，可以从Detail 下载相关资料进行学习。

在多元线性回归问题中，对模型参数的假设检验有助于度量模型的有效性，本节将介绍几种重要的假设检验方法。这些方法要求模型误差εi服从均值为零，方差为σ2的独立的正态分布，简记为ε~NID（0，σ2）。由此可知，观测yi服从均值为，方差为σ2的独立的正态分布。

10.4.1回归的显著性检验（略）

10.4.2 回归系数的个别检验和分组检验

大多数回归的计算机程序对每个模型参数给出t检验。例如，考虑表10.4，它是例10.1的Minitab输出。输出的上面部分给出了每个参数的最小二乘估计、标准误、t统计量以及对应的P值。对此模型，我门的结论是两个变量（温度和进料速率）都是显著的。

例10.6 考虑例10.1中的黏度数据。假定要研究变量x2（进料速率）对模型的作用。即所要检验的假设是

Ho:β2=0，H1: β2≠0

这需要求出β2的附加平方和

由检验了回归显著性的表10.4，我们有

在表中它被称为模型平方和。这个平方和有2个自由度

简化模型是

此模型的最小二乘拟合为

其（自由度为1的）回归平方和是

注意，这个SSR（β1|β0）显示在表10.4中Mintab输出的底部的“Seq SS项中。因此，

其自由度为2一1=1。这是向已包含了x1的模型中添加x2而引起的回归平方和的增加量，己显示在表10.4中Mintab输出的底部。为了检验H0: β2=0，由检验统计量可得

注意，F0的分母为全模型中的MSE(表10.4)。由F0.05,1,13=4.67,我们拒绝H0: β2=0，并认为x2（进料速率）对模型有显著影响。

这个偏F检验仅涉及单一回归变量，此时它等价于t检验，因为自由度为ν的t统计量的平方就是自由度为1和ν的F统计量。为了理解这一点，查看表10.4中对H0: β2=0检验的t统计量t0=3.5203，因此t02=（3.5203）2=12.3925≈F0。

# P324例10.1

Viscosity=[2256,2340,2426,2293,2330,2368,2250,2409,2364,2379,2440,2364,2404,2317,2309,2328]

Temperature =[80,93,100,82,90,99,81,96,94,93,97,95,100,85,86,87]

Catalyst =[8,9,10,12,11,8,8,10,12,11,13,11,8,12,9,12]

data= {"Viscosity":Viscosity,"Temperature":Temperature,"Catalyst":Catalyst}

df =pd.DataFrame(data)

#model = smf.ols('df.Viscosity ~ C(df.Temperature) + C(df.Rate)', data=df).fit()

model = smf.ols('df.Viscosity ~df.Temperature +df.Catalyst', data=df).fit()

#model = smf.ols('df.Yield ~pd.get_dummies(df.Temperature) +pd.get_dummies(df.Pressure)+pd.get_dummies(df.Conc)', data=df).fit()

#model = smf.ols('df.Viscosity ~ df.Temperature + df.Rate + df.Temperature:df.Rate', data=df).fit()

print(model.summary2())

print(model.params)

anovatable=sm.stats.anova_lm(model)

ax = sns.residplot(x=model.predict(df.Temperature), y=df.Viscosity, lowess=False, color='black')

ax.set_xlabel('Fitted value')

ax.set_ylabel('Residuals')

plt.show()

ax = sns.residplot(x=model.predict(df.Rate), y=df.Viscosity, lowess=False, color='black')

ax.set_xlabel('Fitted value')

ax.set_ylabel('Residuals')

plt.show()

>>> print(model.summary2())

C:\Users\Administrator\AppData\Local\Programs\Python\Python311\Lib\site-packages\scipy\stats\_stats_py.py:1736: UserWarning: kurtosistest only valid for n>=20 ... continuing anyway, n=16

warnings.warn("kurtosistest only valid for n>=20 ... continuing "

Results: Ordinary least squares

====================================================================

Model: OLS Adj. R-squared: 0.916

Dependent Variable: df.Viscosity AIC: 137.5159

Date: 2024-03-14 10:31 BIC: 139.8337

No. Observations: 16 Log-Likelihood: -65.758

Df Model: 2 F-statistic: 82.50

Df Residuals: 13 Prob (F-statistic): 4.10e-08

R-squared: 0.927 Scale: 267.60

--------------------------------------------------------------------

Coef. Std.Err. t P>|t| [0.025 0.975]